Taller: estudiar funciones con GeoGebra

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorEscribir 0,5x^2 con coma decimal.

  Cómo corregirloGeoGebra usa el punto decimal: 0.5x^2. En tu cuaderno sigue usando la coma.

• ErrorFiarse de la primera ventana y dar por hecho que la función «solo baja» o «no corta el eje».

  Cómo corregirloAleja el zoom y vuelve a mirar: puede haber cortes o extremos fuera de la ventana.

• ErrorCopiar 0,2679 como si fuera exacto.

  Cómo corregirloEs una aproximación: escribe $x \approx 0{,}27$. Si lo puedes calcular a mano, da también el valor exacto ($2 - \sqrt{3}$).

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Estudio completo de una función cúbica digital (guiado)

   Representa con GeoGebra $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ y halla sus cortes con los ejes, sus máximos y mínimos relativos y sus intervalos de crecimiento.

   Resolución

   1. Barra de entrada: f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2. Ajustamos la ventana a $x \in [-1, 5]$, $y \in [-10, 10]$.
   2. Raíz(f) da tres puntos: $(0{,}27;\ 0)$, $(2, 0)$ y $(3{,}73;\ 0)$.
   3. Corte con el eje Y: $f(0) = -2$ → $(0, -2)$.
   4. Extremo(f) da $(1, 2)$ y $(3, -2)$: máximo relativo en $(1, 2)$ y mínimo relativo en $(3, -2)$.
   5. Crece en $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ y decrece en $(1, 3)$.

   Comprobación a mano: $f(2) = 8 - 24 + 18 - 2 = 0$ ✔. Dividiendo por Ruffini entre $(x - 2)$: $f(x) = (x - 2)(x^2 - 4x + 1)$, y $x^2 - 4x + 1 = 0$ da $x = 2 \pm \sqrt{3}$, es decir, $x \approx 0{,}27$ y $x \approx 3{,}73$. ✔

2. Ejemplo 2. La ventana engañosa digital (ajustar la ventana)

   Representa $f(x) = x^2 - 20x + 96$. Si la ventana va de $x = -10$ a $x = 10$ y de $y = -10$ a $y = 10$, ¿qué parece que hace la función? Ajusta la ventana y descríbela bien.

   Resolución

   En esa ventana solo se ve un trozo de curva que baja entre $x \approx 6{,}3$ y $x = 10$ y corta al eje X en $x = 8$. Parece una función decreciente con un solo corte.

   Al alejar el zoom (por ejemplo, $x \in [0, 20]$, $y \in [-10, 100]$) aparece la parábola completa:

   • cortes con el eje X: Raíz(f) → $(8, 0)$ y $(12, 0)$; con el eje Y: $(0, 96)$;
   • Extremo(f) → mínimo en $(10, -4)$;
   • decrece en $(-\infty, 10)$ y crece en $(10, +\infty)$.

   Comprobación: $f(x) = (x - 8)(x - 12)$ y $f(10) = 100 - 200 + 96 = -4$. ✔

3. Ejemplo 3. Dónde se cortan dos gráficas digital (intersección)

   Representa $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = x + 1$ y halla sus puntos de corte. Compruébalo resolviendo una ecuación.

   Resolución

   Con Interseca(f, g) se obtienen $A(-1, 0)$ y $B(4, 5)$.

   A mano: igualamos $x^2 - 2x - 3 = x + 1 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3 \pm 5}{2}$: $x = 4$ y $x = -1$. Sustituyendo en $g$: $g(4) = 5$ y $g(-1) = 0$. ✔

   Entre $x = -1$ y $x = 4$ la recta está por encima de la parábola: ahí $g(x) > f(x)$.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Representa $f(x) = 0{,}5x^2 - 2x - 6$ con GeoGebra y completa:

   • Cortes con el eje X:
   • Corte con el eje Y:
   • Máximo o mínimo:
   • Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
   • Recorrido:
   Ver solución

   Cortes (−2, 0) y (6, 0); (0, −6); mínimo (2, −8); decrece en (−∞, 2), crece en (2, +∞); Rec = [−8, +∞).

   Entrada: f(x) = 0.5x^2 - 2x - 6.

   • Raíz(f) → $(-2, 0)$ y $(6, 0)$.
   • $f(0) = -6$ → $(0, -6)$.
   • Extremo(f) → mínimo en $(2, -8)$.
   • Decrece en $(-\infty, 2)$ y crece en $(2, +\infty)$.
   • $\text{Rec}\, f = [-8, +\infty)$.

2. 2. Media

   Representa $g(x) = -x^3 + 3x + 1$. Halla con GeoGebra sus cortes con los ejes (con dos decimales) y sus extremos relativos. ¿Dónde es positiva?

   Ver solución

   Cortes X ≈ −1,53; −0,35; 1,88. Corte Y (0, 1). Mín. rel. (−1, −1); máx. rel. (1, 3). g > 0 en (−∞; −1,53) ∪ (−0,35; 1,88), aprox.

   • Raíz(g) → $x \approx -1{,}53$; $x \approx -0{,}35$; $x \approx 1{,}88$.
   • $g(0) = 1$ → $(0, 1)$.
   • Extremo(g) → mínimo relativo en $(-1, -1)$ y máximo relativo en $(1, 3)$. Comprobación: $g(-1) = 1 - 3 + 1 = -1$; $g(1) = -1 + 3 + 1 = 3$. ✔
   • La gráfica está por encima del eje X a la izquierda de $-1{,}53$ y entre $-0{,}35$ y $1{,}88$: $g(x) > 0$ en $(-\infty;\ -1{,}53) \cup (-0{,}35;\ 1{,}88)$, aproximadamente.

3. 3. Media

   Representa $h(x) = \dfrac{x^2 - 30x}{10}$ (en GeoGebra: h(x) = (x^2 - 30x)/10). a) Con la ventana $x \in [-10, 10]$, $y \in [-10, 10]$, ¿qué ves? b) Elige una ventana en la que se vean los dos cortes con el eje X y el mínimo. Escribe la ventana y los puntos.

   Ver solución

   a) Solo un trozo que baja y pasa por el origen. b) P. ej., x ∈ [−5, 35], y ∈ [−25, 10]; cortes (0, 0) y (30, 0); mínimo (15; −22,5).

   a) Se ve una curva que baja y pasa por $(0, 0)$; parece casi una recta decreciente. b) Por ejemplo, $x \in [-5, 35]$ e $y \in [-25, 10]$. Raíz(h) → $(0, 0)$ y $(30, 0)$; Extremo(h) → mínimo en $(15;\ -22{,}5)$. Comprobación: $h(15) = \dfrac{225 - 450}{10} = -22{,}5$. ✔

4. 4. Media

   Se lanza un cohete de agua desde 1 m de altura. Su altura es $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (metros, con $t$ en segundos). a) Representa la función solo mientras el cohete está en el aire, con Función(h, 0, 5) y ajustando después el final. b) ¿Cuál es la altura máxima y cuándo se alcanza? c) ¿Cuándo llega al suelo? (Redondea a centésimas.)

   Ver solución

   b) 21 m a los 2 s. c) A los 4,05 s, aproximadamente.

   a) Entrada: h(x) = -5x^2 + 20x + 1. Con Raíz(h) se ve que el corte positivo está en $x \approx 4{,}05$, así que se puede escribir Función(h, 0, 4.05). b) Extremo(h) → $(2, 21)$: altura máxima 21 m a los 2 s. Comprobación: $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$. ✔ c) Raíz(h) da $t \approx -0{,}05$ (sin sentido) y $t \approx 4{,}05$: llega al suelo a los 4,05 s aproximadamente.

5. 5. Difícil

   Representa $f(x) = \dfrac{8}{x}$ y $g(x) = x + 2$. a) Halla sus puntos de corte con Interseca(f, g) y compruébalos a mano. b) ¿Qué le ocurre a la gráfica de $f$ cerca de $x = 0$? ¿Es continua?

   Ver solución

   a) (2, 4) y (−4, −2). b) Se dispara hacia arriba y hacia abajo; discontinua en x = 0.

   a) Interseca(f, g) → $(2, 4)$ y $(-4, -2)$. A mano: $\dfrac{8}{x} = x + 2 \Rightarrow 8 = x^2 + 2x \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{-2 \pm 6}{2}$: $x = 2$ y $x = -4$; $g(2) = 4$, $g(-4) = -2$. ✔ b) Cerca de $x = 0$ la gráfica se dispara (hacia arriba por la derecha y hacia abajo por la izquierda) y en $x = 0$ no existe: discontinua en $x = 0$ (ramas infinitas).

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Representa $f(x) = x^2 + x - 6$ con GeoGebra o Desmos (también en el móvil). Halla sus cortes con los ejes y su mínimo, y comprueba los cortes resolviendo la ecuación a mano.

   Ver solución

   Cortes (−3, 0), (2, 0) y (0, −6); mínimo (−0,5; −6,25).

   • Cortes con el eje X: $(-3, 0)$ y $(2, 0)$. A mano: $x = \dfrac{-1 \pm 5}{2}$, $x = 2$ y $x = -3$. ✔
   • Corte con el eje Y: $(0, -6)$.
   • Mínimo: $(-0{,}5;\ -6{,}25)$. Comprobación: $f(-0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}5 - 6 = -6{,}25$. ✔

2. 2. Media

   Representa $g(x) = x^3 - 3x^2$. Halla sus cortes con los ejes, sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

   Ver solución

   Cortes (0, 0) y (3, 0). Máx. rel. (0, 0); mín. rel. (2, −4). Crece en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); decrece en (0, 2).

   • Raíz(g) → $(0, 0)$ y $(3, 0)$. A mano: $x^2(x - 3) = 0$. ✔
   • Extremo(g) → máximo relativo en $(0, 0)$ y mínimo relativo en $(2, -4)$: $g(2) = 8 - 12 = -4$. ✔
   • Crece en $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$; decrece en $(0, 2)$.

3. 3. Media

   Dos empresas de coches compartidos cobran: A, 2 € por reservar y 0,26 € por minuto; B, 0,36 € por minuto sin reserva (precios inventados). a) Escribe las funciones de coste $A(x)$ y $B(x)$, con $x$ en minutos, y represéntalas con GeoGebra para $x$ entre 0 y 40. b) Halla con Interseca cuándo cuestan lo mismo. ¿Qué empresa conviene para un trayecto de 30 minutos?

   Ver solución

   a) A(x) = 2 + 0,26x; B(x) = 0,36x. b) A los 20 min (7,20 €). Para 30 min, A (9,80 € frente a 10,80 €).

   a) $A(x) = 2 + 0{,}26x$; $B(x) = 0{,}36x$. En GeoGebra: A(x) = Función(2 + 0.26x, 0, 40) y B(x) = Función(0.36x, 0, 40). b) Interseca(A, B) → $(20;\ 7{,}2)$: con 20 minutos las dos cuestan 7,20 €. Para 30 min: $A(30) = 9{,}80$ € y $B(30) = 10{,}80$ € → conviene A.

4. 4. Difícil

   Representa $f(x) = \dfrac{x^3}{100} - x$. a) Halla sus cortes con el eje X y sus extremos relativos (dos decimales). b) ¿Qué ventana has necesitado para verlo todo? ¿Por qué con una ventana pequeña, como $x \in [-3, 3]$, parece una recta?

   Ver solución

   a) Cortes x = −10, 0 y 10; máx. rel. ≈ (−5,77; 3,85) y mín. rel. ≈ (5,77; −3,85). b) P. ej., x ∈ [−12, 12], y ∈ [−6, 6]; cerca de 0 el término x³/100 es muy pequeño.

   a) Raíz(f) → $x = -10$, $x = 0$ y $x = 10$ (a mano: $x\left(\dfrac{x^2}{100} - 1\right) = 0$). Extremo(f) → máximo relativo $\approx (-5{,}77;\ 3{,}85)$ y mínimo relativo $\approx (5{,}77;\ -3{,}85)$. b) Por ejemplo, $x \in [-12, 12]$ e $y \in [-6, 6]$. Para $x$ entre $-3$ y $3$, $\dfrac{x^3}{100}$ vale como mucho $0{,}27$: la función es casi $y = -x$ y parece una recta.