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Matemáticas 3.º ESO · Taller de hoja de cálculo: presupuestos e intereses

Simular el ahorro con la hoja de cálculo

Objetivo: Al terminar, sabrás simular en una hoja de cálculo la evolución de un capital a interés simple y compuesto, de un plan de ahorro y de la deuda de un préstamo que se devuelve en cuotas, y representarla en un gráfico.

Explicación

Simular un depósito año a año

Con una hoja de cálculo es fácil ver cómo evoluciona un capital año a año y comparar el interés simple con el compuesto. La idea es que cada fila se calcula a partir de la anterior:

Interés simple: cada año se suma la misma cantidad, el $r\ \%$ del capital inicial. Si el capital inicial es 1500 € al $4\ \%$ , cada año se suman 60 €: en B3, =B2+60.
Interés compuesto: cada año el capital se multiplica por el índice $1 + \dfrac{r}{100}$ . Al $4\ \%$ : en C3, =C2*1,04.
La columna del año: en A3, =A2+1.

Después se seleccionan las fórmulas de la fila 3 y se arrastran hacia abajo tantas filas como años.

Mejor aún: escribe el capital inicial y el rédito en celdas aparte y úsalas en las fórmulas, fijándolas con F4 (referencia absoluta). Así, cambiando un solo dato, toda la tabla se recalcula y puedes probar distintos tipos de interés.

Planes de ahorro

Si además cada año (o cada mes) añades una cantidad fija, basta con sumarla antes de aplicar el interés: =(C2+1000)*1,03 significa «al saldo anterior le sumo 1000 € y todo produce un $3\ \%$ ».

El gráfico

Selecciona las columnas de los años y de los capitales y elige Insertar → Gráfico → Líneas. Verás una recta (simple) y una curva que se separa de ella cada vez más (compuesto).

Préstamos: ¿cuánto queda por pagar?

Cuando se compra algo a plazos con un préstamo, cada mes la deuda produce intereses y se paga una cuota fija. La deuda pendiente de cada mes se calcula a partir de la del mes anterior: $\text{deuda nueva} = \text{deuda anterior} \cdot \left(1 + \frac{r}{1200}\right) - \text{cuota}$ Con un $12\ \%$ anual (un $1\ \%$ mensual) y una cuota de 100 €: en B3, =B2*1,01-100. Se arrastra hasta que la deuda llegue a cero o salga negativa: ese mes la última cuota es menor. Probando distintas cuotas, la hoja dice cuánto hay que pagar al mes para acabar en un plazo dado y cuántos intereses se pagan en total.

Puntos clave

Cada fila se calcula a partir de la anterior: simple =B2+interés; compuesto =C2*índice.
Arrastrando la fórmula se obtiene la evolución de muchos años de una vez.
Con el capital y el rédito en celdas fijas (F4), se pueden probar escenarios cambiando un dato.
El gráfico de líneas muestra la diferencia entre la recta del simple y la curva del compuesto.
Préstamo: deuda nueva $=$ deuda anterior $\cdot$ índice mensual $-$ cuota; si la cuota no supera los intereses del mes, la deuda no baja nunca.

Errores frecuentes

ErrorEn el interés simple, calcular cada año el interés sobre el capital del año anterior.
Cómo corregirloEso es interés compuesto. En el simple, el interés de cada año se calcula siempre sobre el capital inicial.
ErrorEscribir el índice como 1,4 para un 4 %.
Cómo corregirloUn 4 % es 0,04: el índice es 1,04.
ErrorSeleccionar mal los datos del gráfico y que el año salga como otra línea.
Cómo corregirloSelecciona la columna de los años como eje horizontal (o como «categorías») y las columnas de capital como series.
ErrorEn un préstamo, restar la cuota antes de calcular los intereses del mes, o calcular los intereses siempre sobre la deuda inicial.
Cómo corregirloCada mes los intereses se calculan sobre la deuda que queda en ese momento: primero se multiplica por el índice mensual y después se resta la cuota.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. 1500 € durante 10 años simulación con gráfico
Simula en una hoja de cálculo un depósito de 1500 € al $4\ \%$ anual durante 10 años, a interés simple y a interés compuesto.

A B C

1 Año Simple (€) Compuesto (€)

2 0 1500 1500

3 =A2+1 =B2+60 =C2*1,04

a) Arrastra la fila 3 hasta la fila 12. ¿Qué capitales hay al final de los años 1, 2 y 10? b) Haz el gráfico de líneas de los dos capitales. ¿Qué observas?

Resolución
a)

Año 0 1 2 … 10

Simple (€) 1500 1560 1620 … 2100

Compuesto (€) 1500 1560 1622,40 … 2220,37

Comprobación con las fórmulas: simple, $1500 + \dfrac{1500 \cdot 4 \cdot 10}{100} = 2100$ €; compuesto, $1500 \cdot 1{,}04^{10} \approx 2220{,}37$ €.

b) El simple forma una recta (sube 60 € cada año); el compuesto, una curva que se separa cada vez más. Al cabo de 10 años, el compuesto da $120{,}37$ € más.

	A	B	C
1	Año	Simple (€)	Compuesto (€)
2	0	1500	1500
3	`=A2+1`	`=B2+60`	`=C2*1,04`

Año	0	1	2	…	10
Simple (€)	1500	1560	1620	…	2100
Compuesto (€)	1500	1560	1622,40	…	2220,37

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Quieres simular 2000 € al $5\ \%$ anual con el mismo diseño de hoja (año en A, simple en B, compuesto en C, año 0 en la fila 2). a) ¿Qué fórmulas escribes en A3, B3 y C3? b) ¿Qué valores aparecen en las filas 3 y 4?

Ver solución
a) =A2+1; =B2+100; =C2*1,05. b) Fila 3: 1; 2100; 2100. Fila 4: 2; 2200; 2205.
a) Interés simple anual: $2000 \cdot 0{,}05 = 100$ €. A3: =A2+1; B3: =B2+100; C3: =C2*1,05. b) Fila 3: año 1; simple 2100 €; compuesto $2000 \cdot 1{,}05 = 2100$ €. Fila 4: año 2; simple 2200 €; compuesto $2100 \cdot 1{,}05 = 2205$ €.
2. Media
Un plan de ahorro consiste en ingresar 1000 € al principio de cada año en una cuenta al $3\ \%$ de interés compuesto anual. a) Si en B2 está el saldo inicial (0 €), ¿qué fórmula pondrías en B3 para el saldo al final del primer año? b) Con la hoja, calcula el saldo al final del quinto año. ¿Cuánto se ha ingresado y cuántos intereses se han generado?

Ver solución
a) =(B2+1000)*1,03. b) 5468,41 €; ingresados 5000 €; intereses 468,41 €.
a) =(B2+1000)*1,03. b) Saldos al final de cada año: 1030,00; 2090,90; 3183,63; 4309,14; 5468,41 €. Ingresado: $5 \cdot 1000 = 5000$ €. Intereses: $5468{,}41 - 5000 = 468{,}41$ €.
3. Media
Usa una hoja para averiguar en qué año un capital al $5\ \%$ de interés compuesto llega a duplicarse. ¿Depende del capital inicial?

Ver solución
En el año 15; no depende del capital.
Con un capital de 1 (o cualquier otro) y la fórmula =C2*1,05 arrastrada: al final del año 14 el capital es $1{,}05^{14} \approx 1{,}98$ veces el inicial, y al final del año 15, $1{,}05^{15} \approx 2{,}08$ veces. Se duplica en el año 15. No depende del capital: todos se multiplican por el mismo número.

Para practicar más

1. Fácil
En una hoja, C2 vale 800 y en C3 está la fórmula =C2*1,025, que se ha arrastrado hasta C5. a) ¿A qué rédito corresponde? b) ¿Qué valores aparecen en C3, C4 y C5? Redondea a céntimos.

Ver solución
a) 2,5 %. b) 820 €; 840,50 €; 861,51 €.
a) $1{,}025 = 1 + 0{,}025$ → $2{,}5\ \%$ de interés compuesto. b) C3: $800 \cdot 1{,}025 = 820$ €; C4: $820 \cdot 1{,}025 = 840{,}50$ €; C5: $840{,}50 \cdot 1{,}025 = 861{,}5125 \approx 861{,}51$ €.
2. Media
Simula 2000 € al $6\ \%$ anual a interés simple y compuesto. Añade una columna D con la diferencia (=C2-B2). ¿En qué año la diferencia supera por primera vez los 500 €?

Ver solución
En el año 12 (584,39 €); en el año 11 es de 476,60 €.
Simple: =B2+120. Compuesto: =C2*1,06. Diferencia: =C2-B2. Año 11: compuesto $2000 \cdot 1{,}06^{11} \approx 3796{,}60$ €; simple $3320$ €; diferencia $476{,}60$ €. Año 12: compuesto $\approx 4024{,}39$ €; simple $3440$ €; diferencia $584{,}39$ €. Año 12.
3. Difícil
Ana ingresa 50 € al principio de cada mes en una cuenta que da un $2{,}4\ \%$ anual con capitalización mensual (un $0{,}2\ \%$ cada mes). a) ¿Qué fórmula usarías para calcular el saldo de cada mes a partir del anterior? b) ¿Cuánto tendrá al cabo de 12 meses? ¿Cuántos intereses ha ganado?

Ver solución
a) =(B2+50)*1,002. b) 607,86 €; 7,86 € de intereses.
a) =(B2+50)*1,002 (al saldo anterior se le suman 50 € y todo produce un $0{,}2\ \%$ ). b) Arrastrando 12 filas se obtiene un saldo de $607{,}86$ €. Ha ingresado $12 \cdot 50 = 600$ €, así que ha ganado $7{,}86$ € de intereses. Con tipos tan bajos, lo que más hace crecer el ahorro es la constancia, no los intereses.