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Matemáticas 3.º ESO · La esfera y sus secciones. Coordenadas geográficas

Distancias sobre la Tierra: meridianos y paralelos

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la longitud del ecuador, de un meridiano y de un paralelo, y la distancia entre dos puntos situados en el mismo meridiano o en el mismo paralelo.

Explicación

Longitudes de arco sobre la Tierra

Tomamos la Tierra como una esfera de radio $R \approx 6370$ km. Un arco de $n^\circ$ de una circunferencia de radio $r$ mide: $\ell = \frac{2\pi r \cdot n}{360}$

Sobre un meridiano o sobre el ecuador

Meridianos y ecuador están en círculos máximos (radio $R$ ): $2\pi R \approx 40\,024\ \text{km} \qquad 1^\circ \approx 111{,}18\ \text{km}$

Dos puntos del mismo meridiano: el arco es la diferencia de latitudes (o la suma, si están en hemisferios distintos).
Dos puntos del ecuador: el arco es la diferencia de longitudes.

Sobre un paralelo

Un paralelo de latitud $\varphi$ es un círculo menor. En el corte de la Tierra por el eje se ve un triángulo rectángulo de hipotenusa $R$ , con ángulo $\varphi$ en el centro de la Tierra, y cuyo cateto contiguo es el radio $r$ del paralelo: $r = R \cdot \cos \varphi$ Dos puntos del mismo paralelo están separados por un arco de ese radio y de amplitud la diferencia de longitudes: $\ell = \frac{2\pi r \cdot \Delta\lambda}{360}$

Cuidado: el camino por un paralelo no es el más corto. El más corto entre dos puntos de una esfera va por un círculo máximo; por eso los aviones que van de Madrid a Nueva York suben hacia el norte.

Puntos clave

Arco de $n^\circ$ : $\ell = \dfrac{2\pi r \cdot n}{360}$ .
Meridianos y ecuador: radio $R \approx 6370$ km; $1^\circ \approx 111$ km.
Paralelo de latitud $\varphi$ : radio $r = R\cos\varphi$ , menor cuanto mayor es la latitud.
En el mismo meridiano se usa la diferencia de latitudes; en el mismo paralelo, la diferencia de longitudes.

Errores frecuentes

ErrorUsar el radio de la Tierra para un arco de paralelo.
Cómo corregirloSalvo el ecuador, los paralelos son círculos menores: calcula antes $r = R\cos\varphi$ .
ErrorUsar $\sin\varphi$ en lugar de $\cos\varphi$ .
Cómo corregirloDibuja el corte: el radio del paralelo es el cateto contiguo al ángulo $\varphi$ (que se mide desde el ecuador). Comprueba: en el ecuador ( $\varphi = 0^\circ$ ) debe salir $r = R$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. De Madrid al polo Norte numérico (arco de meridiano)
Madrid está aproximadamente a $40^\circ\,25'$ N. ¿Qué distancia hay, siguiendo su meridiano, desde Madrid hasta el polo Norte? Toma $R = 6370$ km.

Resolución
1. Ángulo: $90^\circ - 40^\circ\,25' = 49^\circ\,35' = 49 + \frac{35}{60} \approx 49{,}583^\circ$ .
2. Arco de un círculo máximo: $\ell = \frac{2\pi \cdot 6370 \cdot 49{,}583}{360} \approx 5513\ \text{km}$ (Con $1^\circ \approx 111{,}18$ km: $49{,}583 \cdot 111{,}18 \approx 5513$ km.)
Ejemplo 2. El paralelo de Madrid geométrico (radio de un paralelo)
a) ¿Cuánto mide el radio del paralelo de Madrid ( $40^\circ\,25'$ N)? b) ¿Cuál es la longitud de ese paralelo? c) ¿Cuántos kilómetros mide un grado de longitud a la latitud de Madrid? Compáralo con el ecuador.

Resolución
a) $\varphi \approx 40{,}417^\circ$ . $r = R\cos\varphi = 6370 \cdot \cos 40{,}417^\circ \approx 6370 \cdot 0{,}7613 \approx 4850$ km.

b) $2\pi r \approx 2\pi \cdot 4850 \approx 30\,472$ km (el ecuador mide unos 40 024 km).

c) $30\,472 : 360 \approx 84{,}6$ km. En el ecuador un grado mide unos 111,2 km: a la latitud de Madrid, un grado de longitud es un 24 % más corto.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Santander ( $43^\circ\,28'$ N, $3^\circ\,48'$ O) está casi en el mismo meridiano que Madrid ( $40^\circ\,25'$ N, $3^\circ\,42'$ O). Suponiendo que están en el mismo meridiano, ¿qué distancia hay entre ellas? Toma $R = 6370$ km.

Ver solución
≈ 339 km
Diferencia de latitudes: $43^\circ\,28' - 40^\circ\,25' = 3^\circ\,03' = 3{,}05^\circ$ . $\ell = \dfrac{2\pi \cdot 6370 \cdot 3{,}05}{360} \approx 339$ km.
2. Media
Calcula el radio y la longitud del paralelo $60^\circ$ N. Toma $R = 6370$ km.

Ver solución
r = 3185 km; unos 20 012 km
$r = 6370 \cdot \cos 60^\circ = 6370 \cdot 0{,}5 = 3185$ km (la mitad del radio terrestre). Longitud: $2\pi \cdot 3185 \approx 20\,012$ km, la mitad que el ecuador.
3. Difícil
Dos barcos están en el ecuador, uno a $10^\circ$ E y otro a $25^\circ$ O. a) ¿Qué distancia los separa siguiendo el ecuador? b) ¿Y si estuvieran en el paralelo $45^\circ$ N con esas mismas longitudes (siguiendo el paralelo)? Toma $R = 6370$ km.

Ver solución
a) ≈ 3891 km; b) ≈ 2752 km
Diferencia de longitudes (hemisferios distintos): $10^\circ + 25^\circ = 35^\circ$ . a) $\ell = \dfrac{2\pi \cdot 6370 \cdot 35}{360} \approx 3891$ km. b) $r = 6370 \cdot \cos 45^\circ \approx 4504$ km; $\ell = \dfrac{2\pi \cdot 4504 \cdot 35}{360} \approx 2752$ km.

Para practicar más

1. Fácil
La milla náutica es la longitud de un minuto de arco de meridiano. Calcula cuántos metros mide, tomando $R = 6370$ km.

Ver solución
≈ 1853 m (la oficial es 1852 m)
Un grado de meridiano: $\dfrac{2\pi \cdot 6370}{360} \approx 111{,}18$ km. Un minuto: $111{,}18 : 60 \approx 1{,}853$ km $\approx 1853$ m.
2. Media
Un avión vuela hacia el sur siguiendo un meridiano, desde un punto de latitud $50^\circ$ N hasta otro de $20^\circ$ S. a) ¿Qué distancia recorre? b) ¿Cuánto tarda a 900 km/h? Toma $R = 6370$ km.

Ver solución
a) ≈ 7782 km; b) unas 8 h 39 min
a) Hemisferios distintos: $50^\circ + 20^\circ = 70^\circ$ . $\ell = \dfrac{2\pi \cdot 6370 \cdot 70}{360} \approx 7782$ km. b) $t = 7782 : 900 \approx 8{,}65$ h; $0{,}65 \cdot 60 \approx 39$ min → unas 8 h 39 min.
3. Difícil
Por el giro de la Tierra, todo lo que está en su superficie da una vuelta completa en 24 h. ¿A qué velocidad (en km/h) se mueve una persona situada en el ecuador? ¿Y otra en Oslo ( $59^\circ\,55'$ N)? Toma $R = 6370$ km.

Ver solución
Ecuador ≈ 1668 km/h; Oslo ≈ 836 km/h
Ecuador: $2\pi \cdot 6370 \approx 40\,024$ km en 24 h → $v \approx 1668$ km/h. Oslo: $\varphi \approx 59{,}917^\circ$ ; $r = 6370 \cdot \cos 59{,}917^\circ \approx 3193$ km; $2\pi r \approx 20\,062$ km → $v \approx 20\,062 : 24 \approx 836$ km/h (casi la mitad).