Alumnos | AulaDual

Explicación

¿Caen antes los cuerpos más pesados?

Aristóteles pensaba que sí: un cuerpo el doble de pesado caería el doble de rápido. Casi 2000 años después, Galileo estudió la caída con planos inclinados y llegó a otra conclusión:

Si no hubiera aire, todos los cuerpos caerían a la vez, con la misma aceleración, sea cual sea su masa.

Lo puedes comprobar: deja caer a la vez una hoja de papel plana y otra igual hecha una bola. La bola llega antes porque el aire la frena menos, no porque pese más. En 1971, el astronauta David Scott (misión Apolo 15) dejó caer en la Luna, donde no hay aire, un martillo y una pluma: llegaron al suelo a la vez.

La caída libre

Un cuerpo está en caída libre cuando se deja caer desde el reposo y la única fuerza que actúa sobre él es su peso (despreciamos el rozamiento con el aire).

La caída libre es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: la velocidad aumenta 9,8 m/s cada segundo. Su aceleración es la aceleración de la gravedad: $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ (el mismo 9,8 que aparece en el peso, $P = m \cdot g$ ).

Las fórmulas de la caída libre

Tomamos el sentido positivo hacia abajo, empezamos a contar el tiempo ( $t = 0$ ) cuando soltamos el cuerpo y llamamos $h$ a la altura que ha caído.

Velocidad. Parte del reposo y gana 9,8 m/s cada segundo: $v = g \cdot t$
Altura caída. Como la velocidad crece de forma uniforme desde 0 hasta $v$ , su rapidez media es la mitad, $\frac{v}{2}$ . La distancia es la rapidez media por el tiempo: $h = \frac{v}{2} \cdot t = \frac{g \cdot t}{2} \cdot t$ , es decir: $h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$
Tiempo de caída desde una altura $h$ (despejando): $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

$t$ (s)	0	1	2	3	4
$v$ (m/s)	0	9,8	19,6	29,4	39,2
$h$ (m)	0	4,9	19,6	44,1	78,4

Fíjate: la velocidad crece lo mismo cada segundo, pero la altura caída crece cada vez más: en el primer segundo cae 4,9 m; en el segundo, 14,7 m; en el tercero, 24,5 m.

Cómo resolver un problema de caída libre

Comprueba que el cuerpo se suelta desde el reposo y que podemos despreciar el aire.
Pon los datos en unidades del SI (m, s, m/s).
Si te dan la altura, calcula primero el tiempo con $t = \sqrt{2h/g}$ y después la velocidad con $v = g \cdot t$ .
Si te dan el tiempo, usa directamente $v = g \cdot t$ y $h = \frac{1}{2} g t^2$ .

¿Y el aire?

En la realidad, el aire frena a los cuerpos que caen, sobre todo a los ligeros y con mucha superficie (una hoja, una pluma, un paracaídas). Un paracaidista con el cuerpo extendido deja de acelerar al llegar a unos 200 km/h; con el paracaídas abierto baja a unos 5 m/s, es decir, 18 km/h (valores aproximados). Nuestras fórmulas funcionan bien para objetos compactos que caen desde pocas decenas de metros.

Puntos clave

Sin aire, todos los cuerpos caen con la misma aceleración, sea cual sea su masa (Galileo).
Caída libre: se suelta desde el reposo y solo actúa el peso; es un MRUA con $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ .
Velocidad: $v = g \cdot t$ . Altura caída: $h = \frac{1}{2} g t^2$ .
Tiempo de caída desde una altura $h$ : $t = \sqrt{2h/g}$ ; después, $v = g \cdot t$ .
La velocidad aumenta 9,8 m/s cada segundo; la altura caída en cada segundo es cada vez mayor.

Errores frecuentes

ErrorPensar que un cuerpo el doble de pesado cae el doble de rápido.
Cómo corregirloSin aire, todos caen igual. Si en la realidad uno llega antes, es porque el aire frena más al otro.
ErrorCalcular la altura con $h = g \cdot t$ .
Cómo corregirloEsa fórmula da la velocidad. La altura es $h = \frac{1}{2} g t^2$ : la mitad, y el tiempo al cuadrado.
ErrorCalcular la velocidad final como $h/t$ .
Cómo corregirlo $h/t$ es la rapidez media, que es solo la mitad de la velocidad final. Usa $v = g \cdot t$ .
ErrorOlvidar la raíz cuadrada al despejar el tiempo.
Cómo corregirlo $t^2 = 2h/g$ , así que $t = \sqrt{2h/g}$ . Comprueba: un tiempo de caída de varios minutos desde un edificio no tiene sentido.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una maceta que cae de un balcón situación real (seguridad)
Una maceta se cae desde un balcón de un quinto piso, a 15 m de altura sobre la acera. Despreciando el rozamiento del aire ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ): a) ¿cuánto tarda en llegar al suelo?; b) ¿con qué velocidad llega? Exprésala en km/h. c) ¿Tendría tiempo de apartarse alguien que la viera caer?

Resolución
Datos: $h = 15$ m; parte del reposo; $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

a) $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 15}{9{,}8}} = \sqrt{3{,}06} \approx 1{,}75\ \text{s}$ .

b) $v = g \cdot t = 9{,}8 \cdot 1{,}75 \approx 17{,}1\ \text{m/s}$ ; en km/h: $17{,}1 \cdot 3{,}6 \approx 62\ \text{km/h}$ .

c) Tarda menos de 2 s y llega a más de 60 km/h. Si alguien tarda unas décimas de segundo en reaccionar y otro poco en moverse, apenas tiene tiempo: por eso las macetas de los balcones deben estar bien sujetas.
Ejemplo 2. Medimos g con un sensor experimental (gráfica v-t)
Con un sensor de movimiento del laboratorio medimos la velocidad de una pelota que se deja caer. Obtenemos estos datos, que se representan en la gráfica:

$t$ (s) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

$v$ (m/s) 0 0,97 1,98 2,93 3,91 4,90

a) ¿Qué forma tiene la gráfica $v$ - $t$ ? ¿Qué tipo de movimiento es? b) Calcula la aceleración. c) ¿Qué altura ha caído la pelota en 0,5 s?

Resolución
a) Los puntos están casi alineados en una recta que pasa por el origen: la velocidad aumenta lo mismo en cada intervalo (casi 1 m/s cada 0,1 s). Es un MRUA que parte del reposo. Las pequeñas desviaciones son errores de medida.

b) Usamos la recta de tendencia, entre $t = 0$ y $t = 0{,}5$ s: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{4{,}90 - 0}{0{,}5 - 0} = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ¡Es justo $g$ !

c) $h = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}5^2 = 1{,}225\ \text{m} \approx 1{,}2\ \text{m}$ .
Ejemplo 3. ¿Qué profundidad tiene el pozo? numérico (con el tiempo como dato)
Para saber la profundidad de un pozo, dejamos caer una piedra y oímos el golpe contra el agua 2 s después. Si despreciamos el tiempo que tarda el sonido en subir y el rozamiento con el aire, ¿qué profundidad tiene el pozo hasta el agua? ¿Con qué velocidad llega la piedra al agua? ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ )

Resolución
$h = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot 2^2 = 19{,}6\ \text{m}$ .

$v = g \cdot t = 9{,}8 \cdot 2 = 19{,}6\ \text{m/s}$ .

El pozo tiene unos 20 m hasta el agua. (En realidad un poco menos, porque parte de los 2 s los gasta el sonido en subir: unos 0,06 s.)

$t$ (s)	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
$v$ (m/s)	0	0,97	1,98	2,93	3,91	4,90

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una piedra se deja caer desde lo alto de un acantilado. Completa la tabla ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ; sin rozamiento):

$t$ (s) 1 2 3

$v$ (m/s)

$h$ caída (m)

Ver solución
v: 9,8; 19,6; 29,4 m/s. h: 4,9; 19,6; 44,1 m.
$v = 9{,}8 \cdot t$ : $9{,}8$ ; $19{,}6$ ; $29{,}4$ m/s. $h = 4{,}9 \cdot t^2$ : $4{,}9 \cdot 1 = 4{,}9$ m; $4{,}9 \cdot 4 = 19{,}6$ m; $4{,}9 \cdot 9 = 44{,}1$ m.
2. Fácil
Un objeto cae libremente durante 2,5 s. ¿Qué velocidad lleva? Exprésala en m/s y en km/h ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ).

Ver solución
24,5 m/s = 88,2 km/h
$v = g \cdot t = 9{,}8 \cdot 2{,}5 = 24{,}5\ \text{m/s}$ ; $24{,}5 \cdot 3{,}6 = 88{,}2\ \text{km/h}$ .
3. Media
Se deja caer una pelota desde una azotea situada a 45 m de altura. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con que llega ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ; sin rozamiento).

Ver solución
≈ 3,0 s; ≈ 29,7 m/s (≈ 107 km/h).
$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 45}{9{,}8}} = \sqrt{9{,}18} \approx 3{,}03\ \text{s}$ . $v = g \cdot t = 9{,}8 \cdot 3{,}03 \approx 29{,}7\ \text{m/s}$ (unos 107 km/h).
4. Media
Mide tu tiempo de reacción. Un compañero sujeta una regla en vertical por el extremo superior; tú pones los dedos abiertos a la altura del cero, sin tocarla. Él la suelta sin avisar y tú la atrapas lo antes posible. La regla ha caído desde el reposo la distancia que marca entre tus dedos. a) Si la atrapas cuando ha caído 20 cm, ¿cuál es tu tiempo de reacción? ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ) b) Haz la experiencia tres veces con tu compañero, calcula la media de las distancias y tu tiempo de reacción.

Ver solución
a) ≈ 0,20 s. b) Respuesta experimental (lo normal: entre 10 y 25 cm, de 0,14 a 0,23 s).
a) $h = 20\ \text{cm} = 0{,}20$ m. $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}20}{9{,}8}} = \sqrt{0{,}0408} \approx 0{,}20\ \text{s}$ b) Respuesta experimental: se usa la misma fórmula con la distancia media. Por ejemplo, 10 cm → 0,14 s; 25 cm → 0,23 s.
5. Difícil
En la Luna, donde no hay aire y $g = 1{,}6\ \text{m/s}^2$ , un astronauta deja caer un martillo y una pluma desde 1,6 m de altura. a) ¿Cuál llega antes al suelo? ¿Por qué? b) ¿Cuánto tardan en caer? c) ¿Cuánto tardaría el martillo en caer desde la misma altura en la Tierra ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ , sin rozamiento)?

Ver solución
a) Llegan a la vez: sin aire, todos los cuerpos caen con la misma aceleración. b) ≈ 1,41 s. c) ≈ 0,57 s.
a) Llegan a la vez. En la Luna no hay aire, y la aceleración de caída es la misma para todos los cuerpos, sea cual sea su masa.

b) $t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}6}{1{,}6}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\ \text{s}$ .

c) $t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}6}{9{,}8}} = \sqrt{0{,}327} \approx 0{,}57\ \text{s}$ . En la Luna caen más despacio porque $g$ es unas seis veces menor.

Para practicar más

1. Fácil
¿Qué velocidad tendrá un cuerpo que lleva 4 s cayendo libremente? Exprésala en m/s y en km/h ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ).

Ver solución
39,2 m/s ≈ 141 km/h
$v = g \cdot t = 9{,}8 \cdot 4 = 39{,}2\ \text{m/s}$ ; $39{,}2 \cdot 3{,}6 \approx 141\ \text{km/h}$ .
2. Fácil
¿Qué altura cae en 1,5 s una piedra que se deja caer desde el reposo? ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ; sin rozamiento)

Ver solución
≈ 11 m (11,025 m)
$h = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot 1{,}5^2 = 4{,}9 \cdot 2{,}25 \approx 11{,}0\ \text{m}$ .
3. Media
Una bellota se desprende de una encina de la Casa de Campo desde una rama situada a 7 m de altura. Despreciando el rozamiento del aire, calcula cuánto tarda en llegar al suelo y con qué velocidad llega ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ).

Ver solución
≈ 1,2 s; ≈ 11,7 m/s.
$t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 7}{9{,}8}} = \sqrt{1{,}43} \approx 1{,}195 \approx 1{,}2\ \text{s}$ . $v = g \cdot t = 9{,}8 \cdot 1{,}195 \approx 11{,}7\ \text{m/s}$ .
4. Media
Galileo descubrió que un cuerpo que cae desde el reposo recorre en cada segundo una distancia mayor que en el anterior. Calcula ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ): a) la altura total caída al cabo de 1, 2 y 3 s; b) la altura caída durante el primer segundo, durante el segundo y durante el tercero; c) ¿en qué proporción están esas tres distancias?

Ver solución
a) 4,9 m; 19,6 m; 44,1 m. b) 4,9 m; 14,7 m; 24,5 m. c) 1 : 3 : 5.
a) $h = 4{,}9\, t^2$ : $4{,}9$ m; $19{,}6$ m; $44{,}1$ m. b) Primer segundo: $4{,}9$ m. Segundo: $19{,}6 - 4{,}9 = 14{,}7$ m. Tercero: $44{,}1 - 19{,}6 = 24{,}5$ m. c) Dividiendo entre 4,9: $1 : 3 : 5$ . Las distancias recorridas en segundos sucesivos siguen los números impares, como descubrió Galileo.
5. Difícil
Una saltadora se deja caer desde una plataforma de saltos de 10 m de altura sobre el agua ( $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ; sin rozamiento). a) ¿Cuánto tarda en llegar al agua? b) ¿Con qué velocidad entra en el agua? Exprésala en km/h. c) ¿Cuánto tarda en caer los primeros 5 m? ¿Y los 5 m siguientes? ¿Por qué no tarda lo mismo?

Ver solución
a) ≈ 1,43 s. b) 14 m/s ≈ 50 km/h. c) ≈ 1,01 s los primeros 5 m y ≈ 0,42 s los otros 5 m, porque va cada vez más deprisa.
a) $t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 10}{9{,}8}} = \sqrt{2{,}04} \approx 1{,}43\ \text{s}$ .

b) $v = 9{,}8 \cdot 1{,}43 \approx 14\ \text{m/s}$ ; $14 \cdot 3{,}6 \approx 50\ \text{km/h}$ .

c) Primeros 5 m: $t_1 = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 5}{9{,}8}} \approx 1{,}01\ \text{s}$ . Los 5 m siguientes: $1{,}43 - 1{,}01 = 0{,}42\ \text{s}$ . Tarda mucho menos en la segunda mitad porque su velocidad aumenta continuamente: recorre la misma distancia más deprisa.

La caída libre: tiempo de caída y velocidad