La ley de la gravitación universal

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorOlvidar elevar la distancia al cuadrado.

  Cómo corregirloEscribe primero $d^2$ aparte y calcula su valor; después divide. Si $d = 2 \cdot 10^3$ m, $d^2 = 4 \cdot 10^6\ \text{m}^2$.

• ErrorUsar la distancia en km o la altura sobre la superficie.

  Cómo corregirloLa distancia va en metros y se mide entre los centros: para un objeto en la superficie terrestre, $d$ es el radio de la Tierra.

• ErrorPensar que la Tierra atrae a la Luna con más fuerza que la Luna a la Tierra.

  Cómo corregirloLas dos fuerzas valen lo mismo (tercera ley). Lo que cambia es el efecto: la Luna, con mucha menos masa, se acelera mucho más.

• ErrorCreer que en el espacio no hay gravedad.

  Cómo corregirloLa gravedad disminuye con la distancia pero nunca desaparece. En la Estación Espacial Internacional, a unos 400 km de altura, la gravedad es casi el 90 % de la que hay en la superficie.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. ¿Te atrae tu compañero de pupitre? numérico (objetos cotidianos)

   Marta (60 kg) y Hugo (50 kg) están sentados de forma que sus centros están a 1 m de distancia. Calcula la fuerza gravitatoria con que se atraen. Compárala con el peso de un mosquito (unos 2 mg), que es de unos $2 \cdot 10^{-5}$ N. Dato: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

   Resolución

   Datos: $M = 60$ kg; $m = 50$ kg; $d = 1$ m. $$F = G \cdot \frac{M \cdot m}{d^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{60 \cdot 50}{1^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 3000 \approx 2{,}0 \cdot 10^{-7}\ \text{N}$$

   Comparación: $\dfrac{2 \cdot 10^{-5}}{2 \cdot 10^{-7}} = 100$. La atracción entre Marta y Hugo es unas cien veces menor que el peso de un mosquito: no la notamos en absoluto. Por eso la gravitación solo se nota cuando uno de los cuerpos es un astro.

2. Ejemplo 2. La Tierra y la Luna numérico (astros, notación científica)

   Calcula la fuerza con que se atraen la Tierra y la Luna. Datos (aproximados): masa de la Tierra, $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}$ kg; masa de la Luna, $m = 7{,}35 \cdot 10^{22}$ kg; distancia entre sus centros, $d = 384\,000$ km; $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. ¿Con qué fuerza atrae la Luna a la Tierra?

   Resolución

   1. Distancia en metros: $d = 384\,000\ \text{km} = 3{,}84 \cdot 10^8\ \text{m}$.
   2. Cuadrado de la distancia: $d^2 = (3{,}84 \cdot 10^8)^2 \approx 1{,}47 \cdot 10^{17}\ \text{m}^2$.
   3. Producto de las masas: $M \cdot m = 5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 7{,}35 \cdot 10^{22} \approx 4{,}39 \cdot 10^{47}\ \text{kg}^2$.
   4. Sustituimos: $$F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{4{,}39 \cdot 10^{47}}{1{,}47 \cdot 10^{17}} \approx 2{,}0 \cdot 10^{20}\ \text{N}$$

   La Luna atrae a la Tierra con la misma fuerza, $2{,}0 \cdot 10^{20}$ N, en sentido contrario (tercera ley de Newton).

3. Ejemplo 3. Un satélite que se aleja gráfico (inversa del cuadrado)

   En la superficie de la Tierra, la Tierra atrae a un satélite de 1000 kg con una fuerza de 9800 N (su peso). La distancia al centro de la Tierra es entonces 1 radio terrestre ($R_T$). La gráfica muestra cómo cambia esa fuerza cuando el satélite se aleja. a) Calcula la fuerza cuando la distancia al centro es $2R_T$, $3R_T$ y $4R_T$. b) ¿Llega la fuerza a valer cero?

   Resolución

   a) Como $F$ depende de $1/d^2$:

   • $d = 2R_T$ → la fuerza se divide entre $2^2 = 4$: $F = 9800 : 4 = 2450$ N.
   • $d = 3R_T$ → se divide entre $3^2 = 9$: $F = 9800 : 9 \approx 1089$ N.
   • $d = 4R_T$ → se divide entre $4^2 = 16$: $F = 9800 : 16 = 612{,}5$ N.

   Los puntos coinciden con la curva de la gráfica: la fuerza baja muy deprisa al principio y luego cada vez más despacio.

   b) No. La curva se acerca al eje horizontal pero nunca lo toca: por muy lejos que esté, la Tierra sigue atrayendo al satélite.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Dos cuerpos se atraen con una fuerza $F$. ¿Cuánto valdrá la fuerza si… a) se duplica la masa de uno de ellos? b) se duplican las masas de los dos? c) se duplica la distancia entre ellos? d) la distancia se reduce a la mitad? e) se triplica la distancia?

   Ver solución

   a) 2F. b) 4F. c) F/4. d) 4F. e) F/9.

   La fuerza es proporcional a cada masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: a) $2F$. b) $2 \cdot 2 \cdot F = 4F$. c) $F/2^2 = F/4$. d) $F \cdot 2^2 = 4F$. e) $F/3^2 = F/9$.

2. 2. Fácil

   Dos coches están aparcados en una calle de Madrid, con sus centros a 5 m de distancia. Uno tiene 1000 kg de masa y el otro, 1500 kg. Calcula la fuerza gravitatoria entre ellos. ¿Crees que esta fuerza puede mover los coches? Dato: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

   Ver solución

   ≈ 4,0 · 10⁻⁶ N; no, es muchísimo menor que cualquier rozamiento.

   $$F = G \cdot \frac{M \cdot m}{d^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{1000 \cdot 1500}{5^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{1{,}5 \cdot 10^6}{25} \approx 4{,}0 \cdot 10^{-6}\ \text{N}$$ Es una fuerza diminuta (cuatro millonésimas de newton): el rozamiento de las ruedas con el suelo es muchísimo mayor, así que no los mueve.

3. 3. Media

   Calcula con la ley de gravitación la fuerza con que la Tierra atrae a una persona de 60 kg que está en su superficie. Compara el resultado con $m \cdot g = 60 \cdot 9{,}8$. ¿Qué conclusión sacas? Datos: masa de la Tierra, $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}$ kg; radio de la Tierra, $R_T = 6370$ km; $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

   Ver solución

   ≈ 589 N; prácticamente igual que m · g = 588 N: el peso es la fuerza gravitatoria de la Tierra.

   La distancia entre los centros es el radio terrestre: $d = 6370\ \text{km} = 6{,}37 \cdot 10^6$ m; $d^2 \approx 4{,}06 \cdot 10^{13}\ \text{m}^2$. $$F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 60}{4{,}06 \cdot 10^{13}} \approx 589\ \text{N}$$ Por otro lado, $m \cdot g = 60 \cdot 9{,}8 = 588$ N. Son prácticamente iguales: el peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria con que lo atrae la Tierra.

4. 4. Media

   Calcula la fuerza con que el Sol atrae a la Tierra. Datos (aproximados): masa del Sol, $1{,}99 \cdot 10^{30}$ kg; masa de la Tierra, $5{,}97 \cdot 10^{24}$ kg; distancia Sol-Tierra, 150 millones de km; $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. ¿Cuántas veces es mayor que la fuerza entre la Tierra y la Luna ($2{,}0 \cdot 10^{20}$ N)?

   Ver solución

   ≈ 3,5 · 10²² N; unas 175 veces mayor.

   $d = 150 \cdot 10^6\ \text{km} = 1{,}50 \cdot 10^{11}$ m; $d^2 = 2{,}25 \cdot 10^{22}\ \text{m}^2$. $$F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{1{,}99 \cdot 10^{30} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24}}{2{,}25 \cdot 10^{22}} \approx 3{,}5 \cdot 10^{22}\ \text{N}$$ Comparación: $\dfrac{3{,}5 \cdot 10^{22}}{2{,}0 \cdot 10^{20}} \approx 175$. El Sol atrae a la Tierra unas 175 veces más que la Luna.

5. 5. Difícil

   En la superficie terrestre, la Tierra atrae a un satélite con una fuerza de 8000 N. ¿Con qué fuerza lo atraerá cuando esté a una altura sobre la superficie igual al radio terrestre? ¿Y a una altura de dos radios terrestres? (Cuidado: la distancia de la ley se mide desde el centro de la Tierra.)

   Ver solución

   2000 N a una altura de 1 radio (d = 2R_T); ≈ 889 N a una altura de 2 radios (d = 3R_T).

   • Altura $= R_T$ → distancia al centro $d = R_T + R_T = 2R_T$: la distancia se duplica, la fuerza se divide entre 4: $F = 8000 : 4 = 2000$ N.
   • Altura $= 2R_T$ → $d = 3R_T$: la fuerza se divide entre 9: $F = 8000 : 9 \approx 889$ N.

   El error típico es tomar $d = R_T$ en el primer caso (pensar que la fuerza no cambia) o dividir entre 4 en el segundo.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Calcula la fuerza con que se atraen dos masas de 1 kg separadas 1 m. Explica por qué este resultado muestra el significado de la constante $G$. Dato: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

   Ver solución

   6,67 · 10⁻¹¹ N; G es la fuerza entre dos masas de 1 kg a 1 m.

   $$F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{1 \cdot 1}{1^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}$$ El valor de $G$ es justamente la fuerza (en N) con que se atraen dos masas de 1 kg separadas 1 m. Es tan pequeña que la atracción entre objetos cotidianos es inapreciable.

2. 2. Fácil

   Dos bolas de petanca de 0,7 kg cada una están con sus centros a 0,5 m. Calcula la fuerza gravitatoria entre ellas. Dato: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

   Ver solución

   ≈ 1,3 · 10⁻¹⁰ N.

   $$F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{0{,}7 \cdot 0{,}7}{0{,}5^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{0{,}49}{0{,}25} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-10}\ \text{N}$$

3. 3. Media

   La Luna también te atrae a ti. Calcula la fuerza con que la Luna atrae a una persona de 60 kg que está en la Tierra. Toma como distancia la distancia Tierra-Luna, 384 000 km. Compárala con el peso de esa persona, unos 590 N. Datos: masa de la Luna, $7{,}35 \cdot 10^{22}$ kg; $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

   Ver solución

   ≈ 2,0 · 10⁻³ N; unas 300 000 veces menor que su peso.

   $d = 3{,}84 \cdot 10^8$ m; $d^2 \approx 1{,}47 \cdot 10^{17}\ \text{m}^2$. $$F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{7{,}35 \cdot 10^{22} \cdot 60}{1{,}47 \cdot 10^{17}} \approx 2{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{N}$$ Comparación: $590 : 0{,}002 \approx 300\,000$. La atracción de la Luna sobre una persona es unas 300 000 veces menor que su peso: no la notamos. Sobre toda el agua de los océanos sí se nota: produce las mareas.

4. 4. Media

   Un objeto situado a una distancia $d$ del centro de un planeta es atraído con una fuerza de 36 N. Completa la tabla:

   Distancia al centro	$d$	$2d$	$3d$	$4d$
   Fuerza (N)	36

   ¿Es la fuerza inversamente proporcional a la distancia? Razónalo.

   Ver solución

   9 N, 4 N, 2,25 N. No: es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

   $2d$: $36 : 4 = 9$ N. $3d$: $36 : 9 = 4$ N. $4d$: $36 : 16 = 2{,}25$ N.

   No es inversamente proporcional a la distancia (si lo fuera, al duplicar la distancia la fuerza se dividiría entre 2, y aquí se divide entre 4). Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: $F \cdot d^2$ es constante ($36 \cdot 1 = 9 \cdot 4 = 4 \cdot 9 = 2{,}25 \cdot 16 = 36$).

5. 5. Difícil

   La Tierra y la Luna se atraen con una fuerza de $2{,}0 \cdot 10^{20}$ N. Datos: masa de la Tierra, $5{,}97 \cdot 10^{24}$ kg; masa de la Luna, $7{,}35 \cdot 10^{22}$ kg. a) ¿Con qué fuerza atrae la Luna a la Tierra? ¿Qué ley de Newton lo explica? b) Usa la segunda ley de Newton ($a = F/m$) para calcular la aceleración que produce esa fuerza en la Luna y en la Tierra. c) ¿Por qué decimos que la Luna gira alrededor de la Tierra y no al revés?

   Ver solución

   a) 2,0 · 10²⁰ N (tercera ley). b) Luna ≈ 2,7 · 10⁻³ m/s²; Tierra ≈ 3,35 · 10⁻⁵ m/s². c) Porque la Luna, con mucha menos masa, se acelera unas 80 veces más.

   a) Con la misma fuerza, $2{,}0 \cdot 10^{20}$ N, en sentido contrario: es la tercera ley de Newton (acción y reacción).

   b) Luna: $a = \dfrac{2{,}0 \cdot 10^{20}}{7{,}35 \cdot 10^{22}} \approx 2{,}7 \cdot 10^{-3}\ \text{m/s}^2$. Tierra: $a = \dfrac{2{,}0 \cdot 10^{20}}{5{,}97 \cdot 10^{24}} \approx 3{,}35 \cdot 10^{-5}\ \text{m/s}^2$.

   c) La fuerza es la misma, pero la Luna tiene unas 80 veces menos masa, así que se acelera unas 80 veces más ($5{,}97 \cdot 10^{24} : 7{,}35 \cdot 10^{22} \approx 81$). Por eso es la Luna la que describe la órbita grande; la Tierra apenas se mueve. (En realidad, las dos giran alrededor de un punto común que está dentro de la Tierra.)