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Física y Química 3.º ESO · Fuerzas y deformaciones: la ley de Hooke

La ley de Hooke: F = k · Δx

Objetivo: Al terminar, sabrás aplicar la ley de Hooke, F = k · Δx, para calcular fuerzas, alargamientos y longitudes de un muelle, y obtener su constante elástica k a partir de una tabla de medidas o de la gráfica F-Δx.

Explicación

La ley de Hooke

El científico inglés Robert Hooke estudió en el siglo XVII cómo se alargan los muelles y descubrió que, mientras no se supere el límite de elasticidad, el alargamiento es directamente proporcional a la fuerza aplicada:

$F = k \cdot \Delta x$

$F$ : fuerza que estira (o comprime) el muelle, en N.
$\Delta x = L - L_0$ : alargamiento (longitud final menos longitud inicial), en m. (Algunos libros lo escriben $\Delta l$ .)
$k$ : constante elástica del muelle, en N/m.

La constante elástica

$k$ indica lo duro que es el muelle: es la fuerza necesaria para alargarlo 1 m.

Un muelle con $k$ grande es duro: cuesta mucho estirarlo (muelles de la suspensión de un coche, decenas de miles de N/m).
Un muelle con $k$ pequeña es blando: se estira con poca fuerza (muelles de laboratorio, entre 10 y 100 N/m).

Cada muelle tiene su propia $k$ , que depende del material, del grosor del alambre y del tamaño de las espiras.

Unidades. Si el alargamiento viene en cm, pásalo a m antes de calcular: $5\ \text{cm} = 0{,}05\ \text{m}$ .

Despejando

$k = \frac{F}{\Delta x} \qquad \Delta x = \frac{F}{k} \qquad L = L_0 + \Delta x$

La ley sirve también cuando comprimimos el muelle: entonces $\Delta x$ es lo que se acorta.

La gráfica F-Δx

Si representamos la fuerza (eje vertical) frente al alargamiento (eje horizontal), los puntos quedan alineados en una recta que pasa por el origen: es una relación de proporcionalidad directa. La pendiente de la recta es la constante $k$ : $k = \frac{F}{\Delta x} \quad \text{(tomando un punto de la recta)}$

Con datos de laboratorio, los puntos no quedan perfectamente alineados (hay errores de medida). Trazamos la recta de tendencia, que pasa por el origen y lo más cerca posible de todos los puntos, y calculamos $k$ con ella o haciendo la media de los valores $F/\Delta x$ de cada medida.

Si seguimos colgando pesas hasta superar el límite de elasticidad, los puntos se separan de la recta: la ley de Hooke deja de cumplirse.

Una aplicación: el dinamómetro

El dinamómetro funciona gracias a la ley de Hooke: como el alargamiento es proporcional a la fuerza, las marcas de la escala están igual de separadas. Calibrar un dinamómetro es colgar fuerzas conocidas y marcar dónde queda el muelle.

Un muelle calibrado para medir la gravedad

Si colgamos una masa $m$ de un muelle vertical y esperamos a que quede quieta, el peso queda compensado por la fuerza elástica: $m \cdot g = k \cdot \Delta x$

Si conocemos $g$ , colgando masas conocidas y midiendo los alargamientos obtenemos $k$ . En la gráfica de la masa colgada frente al alargamiento, la pendiente es $m/\Delta x = k/g$ , así que $k = g \cdot \text{pendiente}$ .
Al revés, con un muelle calibrado (de $k$ conocida) y una masa conocida, medir el alargamiento permite calcular la gravedad del lugar: $g = \dfrac{k \cdot \Delta x}{m}$ . El mismo muelle con la misma masa se alarga menos en la Luna que en la Tierra.

Puntos clave

Ley de Hooke: $F = k \cdot \Delta x$ , con $\Delta x = L - L_0$ (alargamiento).
$k$ es la constante elástica, en N/m: cuanto mayor, más duro es el muelle.
Pasa el alargamiento a metros antes de calcular $k$ en N/m.
La gráfica $F$ - $\Delta x$ es una recta que pasa por el origen; su pendiente es $k$ .
La ley solo se cumple hasta el límite de elasticidad.
El dinamómetro se basa en la ley de Hooke: sus marcas están igual de separadas.
Muelle vertical en equilibrio: $m \cdot g = k \cdot \Delta x$ . En la gráfica masa-alargamiento, $k = g \cdot$ pendiente; con $k$ conocida, sirve para medir $g$ .

Errores frecuentes

ErrorUsar la longitud del muelle en lugar del alargamiento: $F = k \cdot L$ .
Cómo corregirloEn la ley de Hooke va lo que se ha alargado: $\Delta x = L - L_0$ .
ErrorDejar el alargamiento en cm y dar $k$ en N/m.
Cómo corregirloSi $F = 2$ N alarga 5 cm, $k = \dfrac{2}{0{,}05} = 40$ N/m, no $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ N/m (eso serían N/cm).
ErrorOlvidar sumar la longitud inicial cuando piden la longitud final.
Cómo corregirloLa ley de Hooke da el alargamiento; la longitud es $L = L_0 + \Delta x$ .
ErrorUnir los puntos experimentales con una línea quebrada.
Cómo corregirloLos datos de laboratorio tienen pequeños errores: se traza una sola recta de tendencia que pase por el origen y cerca de todos los puntos.
ErrorUsar la masa en lugar del peso en la ley de Hooke: $k = m/\Delta x$ .
Cómo corregirloLa fuerza que estira el muelle es el peso, $m \cdot g$ , en newtons. Si la gráfica da masa frente a alargamiento, multiplica la pendiente por $g$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un muelle de laboratorio numérico
Un muelle de constante elástica $k = 40$ N/m mide 15 cm sin nada colgado.

a) ¿Cuánto se alarga si tiramos de él con 2 N? ¿Cuánto mide entonces? b) ¿Qué fuerza hay que hacer para que mida 22 cm?

Resolución
a) Despejamos el alargamiento: $\Delta x = \frac{F}{k} = \frac{2\ \text{N}}{40\ \text{N/m}} = 0{,}05\ \text{m} = 5\ \text{cm}$ Longitud: $L = L_0 + \Delta x = 15 + 5 = 20$ cm.

b) Alargamiento: $\Delta x = 22 - 15 = 7\ \text{cm} = 0{,}07\ \text{m}$ . $F = k \cdot \Delta x = 40\ \text{N/m} \cdot 0{,}07\ \text{m} = 2{,}8\ \text{N}$
Ejemplo 2. La constante de un muelle a partir de medidas experimental y gráfico
En el laboratorio colgamos pesas de 50 g de un muelle que mide 10,0 cm y anotamos su longitud. El peso de cada masa se calcula con $P = m \cdot g$ ( $g = 9{,}8$ N/kg).

Masa (g) 0 50 100 150 200 250

F = peso (N) 0 0,49 0,98 1,47 1,96 2,45

L (cm) 10,0 12,0 13,9 15,9 17,8 19,8

a) Calcula el alargamiento en cada caso. b) Observa la gráfica F-Δx. ¿Se cumple la ley de Hooke? c) Calcula la constante elástica del muelle.

Resolución
a) $\Delta x = L - 10{,}0$ :

F (N) 0 0,49 0,98 1,47 1,96 2,45

Δx (cm) 0 2,0 3,9 5,9 7,8 9,8

b) Los puntos están prácticamente alineados en una recta que pasa por el origen: la fuerza y el alargamiento son directamente proporcionales. Se cumple la ley de Hooke (las pequeñas desviaciones son errores de medida).

c) Con la recta de tendencia: tomamos un punto de la recta, por ejemplo $\Delta x = 10\ \text{cm} = 0{,}10\ \text{m}$ y $F = 2{,}5$ N: $k = \frac{F}{\Delta x} = \frac{2{,}5\ \text{N}}{0{,}10\ \text{m}} = 25\ \text{N/m}$

Con la media: calculamos $F/\Delta x$ en cada medida (con $\Delta x$ en m): 24,5; 25,1; 24,9; 25,1; 25,0 N/m. La media es $k \approx 24{,}9\ \text{N/m} \approx 25\ \text{N/m}$ .
Ejemplo 3. Calibrar un dinamómetro situación de laboratorio
Queremos fabricar un dinamómetro con un muelle de $k = 50$ N/m metido en un tubo. El muelle solo puede alargarse 10 cm dentro del tubo sin superar su límite de elasticidad.

a) ¿Cada cuántos centímetros hay que poner una marca para que la escala vaya de 0,5 N en 0,5 N? b) ¿Cuál será el alcance del dinamómetro?

Resolución
a) Una fuerza de 0,5 N alarga el muelle: $\Delta x = \frac{F}{k} = \frac{0{,}5\ \text{N}}{50\ \text{N/m}} = 0{,}01\ \text{m} = 1\ \text{cm}$ Hay que poner una marca cada centímetro (0 N, 0,5 N, 1 N, 1,5 N…). Como el alargamiento es proporcional a la fuerza, todas las marcas quedan igual de separadas.

b) El alargamiento máximo es $0{,}10$ m: $F_\text{máx} = k \cdot \Delta x = 50 \cdot 0{,}10 = 5\ \text{N}$ El alcance es 5 N.

Masa (g)	0	50	100	150	200	250
F = peso (N)	0	0,49	0,98	1,47	1,96	2,45
L (cm)	10,0	12,0	13,9	15,9	17,8	19,8

F (N)	0	0,49	0,98	1,47	1,96	2,45
Δx (cm)	0	2,0	3,9	5,9	7,8	9,8

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un muelle tiene una constante elástica de 200 N/m. ¿Cuánto se alarga si tiramos de él con una fuerza de 10 N? Da el resultado en m y en cm.

Ver solución
0,05 m = 5 cm
$\Delta x = \dfrac{F}{k} = \dfrac{10\ \text{N}}{200\ \text{N/m}} = 0{,}05\ \text{m} = 5\ \text{cm}$
2. Fácil
Una fuerza de 6 N alarga un muelle 4 cm. a) Calcula su constante elástica. b) ¿Cuánto se alargará con una fuerza de 9 N?

Ver solución
a) 150 N/m. b) 6 cm.
a) $\Delta x = 4\ \text{cm} = 0{,}04\ \text{m}$ ; $k = \dfrac{F}{\Delta x} = \dfrac{6}{0{,}04} = 150\ \text{N/m}$ . b) $\Delta x = \dfrac{9}{150} = 0{,}06\ \text{m} = 6\ \text{cm}$ . (También por proporcionalidad: 9 N es 1,5 veces 6 N, así que se alarga $1{,}5 \cdot 4 = 6$ cm.)
3. Media
Un muelle mide 20 cm. Al tirar de él con 3 N, mide 26 cm.

a) Calcula su constante elástica. b) ¿Cuánto medirá si tiramos con 5 N? c) ¿Con qué fuerza hay que tirar para que mida 23 cm?

Ver solución
a) 50 N/m. b) 30 cm. c) 1,5 N.
a) $\Delta x = 26 - 20 = 6\ \text{cm} = 0{,}06\ \text{m}$ ; $k = \dfrac{3}{0{,}06} = 50\ \text{N/m}$ . b) $\Delta x = \dfrac{5}{50} = 0{,}10\ \text{m} = 10\ \text{cm}$ ; $L = 20 + 10 = 30$ cm. c) $\Delta x = 23 - 20 = 3\ \text{cm} = 0{,}03\ \text{m}$ ; $F = 50 \cdot 0{,}03 = 1{,}5\ \text{N}$ .
4. Media
Estas son las medidas de un muelle:

F (N) 0 1 2 3 4

L (cm) 8,0 10,5 13,0 15,5 18,0

a) Añade una fila con los alargamientos. b) Representa la gráfica F-Δx en los ejes. c) Calcula la constante elástica.

Ver solución
a) Δx = 0; 2,5; 5,0; 7,5; 10,0 cm. b) Recta que pasa por el origen y por (10 cm, 4 N). c) k = 40 N/m.
a) $\Delta x = L - 8{,}0$ : 0; 2,5; 5,0; 7,5; 10,0 cm. b) Los puntos (0, 0), (2,5; 1), (5; 2), (7,5; 3) y (10; 4) están en una recta que pasa por el origen: se cumple la ley de Hooke. c) Con el último punto: $k = \dfrac{4\ \text{N}}{0{,}10\ \text{m}} = 40\ \text{N/m}$ (sale lo mismo con cualquier otro punto).
5. Media
La gráfica muestra la fuerza frente al alargamiento de dos muelles, A y B.

a) Calcula la constante elástica de cada muelle. b) ¿Cuál es más duro? c) ¿Cuánto se alarga cada uno con una fuerza de 1,5 N?
Ver solución
a) k_A = 50 N/m; k_B = 25 N/m. b) A. c) A: 3 cm; B: 6 cm.
a) Tomamos un punto de cada recta:
- A: $F = 2{,}5$ N con $\Delta x = 5\ \text{cm} = 0{,}05\ \text{m}$ → $k_A = \dfrac{2{,}5}{0{,}05} = 50\ \text{N/m}$ .
- B: $F = 2$ N con $\Delta x = 8\ \text{cm} = 0{,}08\ \text{m}$ → $k_B = \dfrac{2}{0{,}08} = 25\ \text{N/m}$ .
b) A es más duro: su $k$ es mayor (su recta está más inclinada); necesita más fuerza para alargarse lo mismo.

c) A: $\Delta x = \dfrac{1{,}5}{50} = 0{,}03\ \text{m} = 3$ cm. B: $\Delta x = \dfrac{1{,}5}{25} = 0{,}06\ \text{m} = 6$ cm.
6. Difícil
Seguimos colgando pesas de un muelle hasta que deja de comportarse bien:

F (N) 0 2 4 6 8 10

Δx (cm) 0 1,0 2,0 3,0 4,6 7,0

a) ¿Hasta qué fuerza se cumple la ley de Hooke? Justifícalo. b) Calcula la constante elástica en la zona en que se cumple. c) ¿Cuánto se alargará con 5 N?

Ver solución
a) Hasta 6 N (a partir de ahí F/Δx ya no es constante). b) 200 N/m. c) 2,5 cm.
a) Calculamos $F/\Delta x$ (con $\Delta x$ en m): 2/0,010 = 200; 4/0,020 = 200; 6/0,030 = 200; 8/0,046 ≈ 174; 10/0,070 ≈ 143 N/m. Hasta 6 N el cociente es constante; a partir de 8 N deja de serlo: se ha superado el límite de elasticidad (en la gráfica, los últimos puntos se separan de la recta). b) $k = 200\ \text{N/m}$ . c) 5 N está en la zona en que se cumple la ley: $\Delta x = \dfrac{5}{200} = 0{,}025\ \text{m} = 2{,}5$ cm.

F (N)	0	1	2	3	4
L (cm)	8,0	10,5	13,0	15,5	18,0

F (N)	0	2	4	6	8	10
Δx (cm)	0	1,0	2,0	3,0	4,6	7,0

Para practicar más

1. Fácil
Una cama elástica tiene muelles de constante $k = 5000$ N/m. ¿Qué fuerza soporta un muelle que se ha estirado 12 cm?

Ver solución
600 N
$\Delta x = 12\ \text{cm} = 0{,}12\ \text{m}$ ; $F = k \cdot \Delta x = 5000 \cdot 0{,}12 = 600\ \text{N}$ .
2. Media
Un muelle mide 12 cm. Al tirar de él con 4 N mide 16 cm.

a) Calcula su constante elástica. b) ¿Cuánto medirá si le colgamos una masa de 300 g? ( $P = m \cdot g$ , con $g = 9{,}8$ N/kg)

Ver solución
a) 100 N/m. b) Unos 14,9 cm.
a) $\Delta x = 16 - 12 = 4\ \text{cm} = 0{,}04\ \text{m}$ ; $k = \dfrac{4}{0{,}04} = 100\ \text{N/m}$ . b) $F = P = 0{,}300 \cdot 9{,}8 = 2{,}94\ \text{N}$ ; $\Delta x = \dfrac{2{,}94}{100} = 0{,}0294\ \text{m} \approx 2{,}9\ \text{cm}$ ; $L = 12 + 2{,}9 \approx 14{,}9$ cm.
3. Difícil
En el laboratorio se han tomado estas medidas con un muelle que mide 15,0 cm sin nada colgado ( $g = 9{,}8$ N/kg):

Masa (g) 100 200 300 400

L (cm) 17,0 19,1 20,9 23,0

a) Calcula la fuerza (peso) y el alargamiento en cada caso. b) Representa la gráfica F-Δx y traza la recta de tendencia. c) Calcula la constante elástica (media de F/Δx). d) ¿Qué masa hay que colgar para que el muelle se alargue 5 cm?

Ver solución
a) F = 0,98; 1,96; 2,94; 3,92 N; Δx = 2,0; 4,1; 5,9; 8,0 cm. b) Puntos casi alineados con el origen. c) k ≈ 49 N/m. d) Unos 250 g.
a) $F = m \cdot g$ : 0,98; 1,96; 2,94; 3,92 N. $\Delta x = L - 15{,}0$ : 2,0; 4,1; 5,9; 8,0 cm. b) Los puntos quedan casi alineados con el origen: recta de tendencia desde (0, 0) hasta unos (8 cm; 3,9 N). c) $F/\Delta x$ (con $\Delta x$ en m): $0{,}98/0{,}020 = 49{,}0$ ; $1{,}96/0{,}041 \approx 47{,}8$ ; $2{,}94/0{,}059 \approx 49{,}8$ ; $3{,}92/0{,}080 = 49{,}0$ N/m. Media: $k \approx 48{,}9 \approx 49\ \text{N/m}$ . d) $F = k \cdot \Delta x = 49 \cdot 0{,}05 = 2{,}45\ \text{N}$ ; $m = \dfrac{F}{g} = \dfrac{2{,}45}{9{,}8} = 0{,}25\ \text{kg} = 250\ \text{g}$ .
4. Media
Un muelle se alarga 2,5 cm por cada newton que se le cuelga. Con él queremos construir un dinamómetro dentro de un tubo en el que el muelle puede alargarse como máximo 12 cm.

a) ¿Cuál es su constante elástica? b) ¿Cuál será el alcance del dinamómetro? c) Si queremos una marca cada 0,2 N, ¿a qué distancia irán las marcas?

Ver solución
a) 40 N/m. b) 4,8 N. c) Cada 0,5 cm.
a) $k = \dfrac{1\ \text{N}}{0{,}025\ \text{m}} = 40\ \text{N/m}$ . b) $F_\text{máx} = 40 \cdot 0{,}12 = 4{,}8\ \text{N}$ . c) $\Delta x = \dfrac{0{,}2}{40} = 0{,}005\ \text{m} = 0{,}5\ \text{cm}$ .
5. Media
Explica con la ley de Hooke por qué las marcas de un dinamómetro están todas igual de separadas, y qué le pasaría a la escala si colgáramos fuerzas mayores que su alcance.

Ver solución
Porque el alargamiento es proporcional a la fuerza: cada newton más alarga el muelle lo mismo. Si se supera el alcance (límite de elasticidad), el muelle se deforma y la escala deja de ser válida.
Según la ley de Hooke, $\Delta x = F/k$ : cada newton que se añade alarga el muelle la misma cantidad, así que las marcas quedan igual de separadas. Si colgamos fuerzas mayores que el alcance, superamos el límite de elasticidad: el muelle ya no cumple la ley de Hooke, queda deformado (no vuelve a cero) y la escala deja de medir bien.