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Explicación

De la distancia a la posición

En el repaso usamos $d = v \cdot t$ , que da cuánto se ha recorrido. Pero muchas veces queremos saber dónde está el móvil. Para eso necesitamos un sistema de referencia:

Una recta (eje $x$ ) con un origen ( $x = 0$ ).
Un sentido positivo (normalmente hacia la derecha, hacia el norte o hacia arriba).

La posición $x$ es un número con signo: $x = 300$ m significa «300 m del origen en el sentido positivo»; $x = -300$ m, «300 m al otro lado del origen».

La ecuación de posición del MRU

$x = x_0 + v \cdot t$

$x$ : posición en el instante $t$ .
$x_0$ : posición inicial (la posición en $t = 0$ ).
$v$ $v$ : velocidad, con signo:
- $v > 0$ si el móvil se mueve en el sentido positivo del eje;
- $v < 0$ si se mueve en el sentido negativo.

El desplazamiento es $\Delta x = x - x_0 = v \cdot t$ . Si el móvil no cambia de sentido, la distancia recorrida es el valor del desplazamiento sin signo.

Cómo resolver un problema de MRU

Dibuja el eje: origen y sentido positivo.
Anota $x_0$ y $v$ con su signo y en unidades coherentes.
Escribe la ecuación $x = x_0 + v \cdot t$ con los números.
Sustituye $t$ para saber la posición, o sustituye $x$ y despeja $t$ para saber cuándo pasa por un punto.

Tabla y gráfica

Dando valores a $t$ obtenemos una tabla. La gráfica $x$ - $t$ de un MRU es una recta: corta el eje vertical en $x_0$ y su inclinación (pendiente) es la velocidad $v$ . Es una función afín, como $y = b + m\,x$ en Matemáticas.

Puntos clave

La posición necesita un origen y un sentido positivo.
Ecuación del MRU: $x = x_0 + v \cdot t$ .
$x_0$ es la posición en $t = 0$ ; puede ser positiva, negativa o cero.
$v$ es positiva si el móvil va en el sentido positivo y negativa si va en el contrario.
Para saber cuándo pasa por un punto, se sustituye $x$ y se despeja $t$ .
La gráfica $x$ - $t$ es una recta de ordenada en el origen $x_0$ y pendiente $v$ .

Errores frecuentes

ErrorEscribir la velocidad siempre positiva aunque el móvil se acerque al origen desde la parte positiva.
Cómo corregirloMira hacia dónde se mueve respecto al sentido positivo que has elegido. Si va «hacia atrás», $v$ es negativa: $x = 600 - 4t$ .
ErrorConfundir la posición con la distancia recorrida.
Cómo corregirloLa posición dice dónde está (respecto al origen); la distancia, cuánto ha andado. Un móvil puede estar en $x = 0$ después de recorrer 600 m.
ErrorPensar que una posición negativa es imposible o es un error de cálculo.
Cómo corregirloUna posición negativa solo significa que el móvil está al otro lado del origen.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una bici por la Castellana situación real (escribir la ecuación y usarla)
Una ciclista de BiciMAD circula por un tramo recto del paseo de la Castellana hacia el norte a 5 m/s constantes. Tomamos como origen una parada de autobús y el norte como sentido positivo. Cuando empezamos a cronometrar, la ciclista está 200 m al norte de la parada. a) Escribe su ecuación de posición. b) ¿Dónde está al cabo de 1 min? c) ¿Cuándo pasa por un semáforo situado 1200 m al norte de la parada?

Resolución
Dibujo: eje con origen en la parada y sentido positivo hacia el norte. Datos: $x_0 = +200$ m; $v = +5$ m/s (va hacia el norte).

a) $x = 200 + 5t$ (x en m, t en s)

b) $t = 1\ \text{min} = 60\ \text{s}$ : $x = 200 + 5 \cdot 60 = 500\ \text{m}$ . Está 500 m al norte de la parada.

c) Sustituimos $x = 1200$ m y despejamos: $1200 = 200 + 5t \;\Rightarrow\; 5t = 1000 \;\Rightarrow\; t = 200\ \text{s}$ Pasa por el semáforo a los 200 s (3 min 20 s).
Ejemplo 2. Un patinete que se acerca al origen numérico (velocidad negativa)
Un patinete está a 600 m a la derecha de un punto O (origen; sentido positivo hacia la derecha) y se mueve hacia O a 4 m/s constantes. a) Escribe su ecuación de posición. b) ¿Dónde está a los 100 s? c) ¿Cuándo pasa por O? d) Si sigue igual, ¿dónde está a los 200 s? ¿Qué distancia ha recorrido entonces?

Resolución
Datos: $x_0 = +600$ m; el patinete va hacia la izquierda (sentido negativo) → $v = -4$ m/s.

a) $x = 600 - 4t$

b) $x = 600 - 4 \cdot 100 = 200\ \text{m}$ (aún a la derecha de O).

c) En O, $x = 0$ : $0 = 600 - 4t \;\Rightarrow\; t = \dfrac{600}{4} = 150\ \text{s}$ .

d) $x = 600 - 4 \cdot 200 = -200\ \text{m}$ : ha pasado O y está 200 m a su izquierda. Desplazamiento: $\Delta x = -200 - 600 = -800$ m (el signo indica que se ha movido hacia la izquierda). Como no ha cambiado de sentido, la distancia recorrida es 800 m.
Ejemplo 3. Leer la ecuación en la gráfica gráfico
La gráfica muestra la posición de dos corredores, A y B, que se mueven por una pista recta. Escribe la ecuación de posición de cada uno y explica qué ocurre en $t = 4$ s.

Resolución
Corredor A: en $t = 0$ está en $x_0 = -20$ m. En 6 s pasa de $-20$ m a $10$ m: $v_A = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{10 - (-20)}{6 - 0} = \frac{30}{6} = 5\ \text{m/s} \;\Rightarrow\; x_A = -20 + 5t$

Corredor B: $x_0 = 40$ m. En 6 s pasa de 40 m a $-20$ m: $v_B = \frac{-20 - 40}{6} = -10\ \text{m/s} \;\Rightarrow\; x_B = 40 - 10t$

En $t = 4$ s: $x_A = -20 + 20 = 0$ m y $x_B = 40 - 40 = 0$ m. Los dos están en el origen a la vez: se cruzan. En la gráfica es el punto donde se cortan las rectas.

Fíjate: la recta de B baja (velocidad negativa) y es más inclinada que la de A (B va más rápido: 10 m/s frente a 5 m/s).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Para cada ecuación (x en m, t en s), indica la posición inicial, la velocidad y si el móvil se mueve en el sentido positivo o negativo: a) $x = 10 + 3t$ b) $x = 50 - 2t$ c) $x = -30 + 6t$ d) $x = 4t$

Ver solución
a) 10 m, 3 m/s, positivo. b) 50 m, −2 m/s, negativo. c) −30 m, 6 m/s, positivo. d) 0 m, 4 m/s, positivo.
Comparamos con $x = x_0 + v \cdot t$ : a) $x_0 = 10$ m; $v = 3$ m/s > 0 → sentido positivo. b) $x_0 = 50$ m; $v = -2$ m/s < 0 → sentido negativo (se acerca al origen). c) $x_0 = -30$ m (al otro lado del origen); $v = 6$ m/s → sentido positivo. d) $x_0 = 0$ (sale del origen); $v = 4$ m/s → sentido positivo.
2. Fácil
Un camión pasa por el kilómetro 25 de la A-3, alejándose de Madrid, a 90 km/h constantes. Toma como origen Madrid (km 0) y como sentido positivo el de alejarse de Madrid. a) Escribe la ecuación de posición (x en km, t en h). b) ¿En qué kilómetro estará dentro de 2 h? c) ¿Cuándo pasará por el km 160?

Ver solución
a) x = 25 + 90t. b) km 205. c) Dentro de 1,5 h (1 h 30 min).
a) $x_0 = 25$ km, $v = 90$ km/h → $x = 25 + 90t$ . b) $x = 25 + 90 \cdot 2 = 205$ km. c) $160 = 25 + 90t \Rightarrow 90t = 135 \Rightarrow t = 1{,}5\ \text{h}$ .
3. Media
Un coche está en el km 120 de la A-3 y vuelve hacia Madrid (km 0) a 100 km/h constantes. Con el mismo sistema de referencia que en el ejercicio anterior: a) escribe su ecuación de posición; b) ¿en qué kilómetro estará dentro de 45 min?; c) ¿cuánto tarda en llegar a Madrid?

Ver solución
a) x = 120 − 100t. b) km 45. c) 1,2 h = 1 h 12 min.
a) Se acerca al origen → $v = -100$ km/h: $x = 120 - 100t$ . b) $45\ \text{min} = 0{,}75\ \text{h}$ : $x = 120 - 100 \cdot 0{,}75 = 45$ km. c) $0 = 120 - 100t \Rightarrow t = 1{,}2\ \text{h} = 1\ \text{h}\ 12\ \text{min}$ .
4. Media
Un móvil sigue la ecuación $x = 8 - 2t$ (x en m, t en s). a) Completa una tabla de valores para $t = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ y $6$ s. b) Dibuja la gráfica $x$ - $t$ en los ejes. c) ¿Cuándo pasa por el origen? ¿Hacia dónde se mueve?

Ver solución
a) x = 8, 6, 4, 2, 0, −2, −4 m. b) Recta de (0, 8) a (6, −4). c) En t = 4 s; en sentido negativo.
a) Sustituyendo: $t = 0 \to 8$ ; $1 \to 6$ ; $2 \to 4$ ; $3 \to 2$ ; $4 \to 0$ ; $5 \to -2$ ; $6 \to -4$ (m). b) Los puntos están alineados: recta que corta el eje vertical en 8 m y baja 2 m cada segundo. c) $0 = 8 - 2t \Rightarrow t = 4$ s. Como $v = -2$ m/s, se mueve en sentido negativo.
5. Difícil
Ana sale de su casa hacia el instituto, que está a 900 m, andando a 1,2 m/s. A la vez, Luis sale del instituto hacia casa de Ana a 1,8 m/s por la misma calle recta. Toma el origen en casa de Ana y el sentido positivo hacia el instituto. a) Escribe la ecuación de posición de cada uno. b) ¿Cuándo y dónde se encuentran?

Ver solución
a) x_Ana = 1,2t; x_Luis = 900 − 1,8t. b) A los 300 s (5 min), a 360 m de casa de Ana.
a) Ana: $x_0 = 0$ , $v = 1{,}2$ m/s → $x_A = 1{,}2t$ . Luis: $x_0 = 900$ m, va hacia el origen → $v = -1{,}8$ m/s → $x_L = 900 - 1{,}8t$ . b) Se encuentran cuando están en la misma posición: $1{,}2t = 900 - 1{,}8t \Rightarrow 3t = 900 \Rightarrow t = 300\ \text{s}$ . Posición: $x = 1{,}2 \cdot 300 = 360$ m. Comprobación: $x_L = 900 - 1{,}8 \cdot 300 = 360$ m. ✔

Para practicar más

1. Fácil
Un móvil se mueve según $x = -15 + 3t$ (x en m, t en s). a) ¿Cuál es su posición inicial y su velocidad? b) ¿Dónde está a los 10 s? c) ¿Cuándo pasa por el origen?

Ver solución
a) −15 m; 3 m/s. b) 15 m. c) A los 5 s.
a) $x_0 = -15$ m (15 m al lado negativo del origen); $v = 3$ m/s. b) $x = -15 + 3 \cdot 10 = 15$ m. c) $0 = -15 + 3t \Rightarrow t = 5$ s.
2. Fácil
En una carrera, una atleta está a 200 m de la línea de salida (origen) y se aleja de ella a 6 m/s constantes. a) Escribe su ecuación de posición. b) ¿Dónde está 30 s después?

Ver solución
a) x = 200 + 6t. b) A 380 m de la salida.
a) $x_0 = 200$ m, $v = 6$ m/s → $x = 200 + 6t$ . b) $x = 200 + 6 \cdot 30 = 380$ m.
3. Media
Un ascensor baja con velocidad constante de 1,5 m/s. Tomamos el origen en la planta baja y el sentido positivo hacia arriba. Cuando empezamos a contar, el ascensor está a 24 m de altura. a) Escribe su ecuación de posición. b) ¿A qué altura está a los 10 s? c) ¿Cuánto tarda en llegar a la planta baja?

Ver solución
a) y = 24 − 1,5t. b) 9 m. c) 16 s.
a) $y_0 = 24$ m; baja → $v = -1{,}5$ m/s: $y = 24 - 1{,}5t$ . b) $y = 24 - 1{,}5 \cdot 10 = 9$ m. c) $0 = 24 - 1{,}5t \Rightarrow t = 16$ s.
4. Media
Observa la gráfica posición-tiempo de un móvil. a) ¿Cuál es su posición inicial? b) Calcula su velocidad. c) Escribe su ecuación de posición. d) ¿Dónde está a los 8 s? e) ¿Cuándo pasa por el origen?

Ver solución
a) −30 m. b) 5 m/s. c) x = −30 + 5t. d) 10 m. e) A los 6 s.
a) En $t = 0$ , la recta corta el eje en $x_0 = -30$ m. b) $v = \dfrac{20 - (-30)}{10 - 0} = \dfrac{50}{10} = 5$ m/s. c) $x = -30 + 5t$ . d) $x = -30 + 5 \cdot 8 = 10$ m. e) $0 = -30 + 5t \Rightarrow t = 6$ s (se ve en la gráfica: la recta corta el eje horizontal en 6 s).
5. Difícil
Dos trenes circulan por vías paralelas y rectas. El tren A pasa por una estación (origen) a 20 m/s. En ese mismo instante, el tren B está a 3000 m de la estación y se dirige hacia ella a 30 m/s. a) Escribe sus ecuaciones de posición (sentido positivo, de la estación hacia B). b) ¿Cuándo y dónde se cruzan?

Ver solución
a) x_A = 20t; x_B = 3000 − 30t. b) A los 60 s, a 1200 m de la estación.
a) $x_A = 20t$ ; B va hacia el origen: $x_B = 3000 - 30t$ . b) $20t = 3000 - 30t \Rightarrow 50t = 3000 \Rightarrow t = 60$ s; $x = 20 \cdot 60 = 1200$ m. Comprobación: $3000 - 30 \cdot 60 = 1200$ m. ✔

La ecuación del MRU: x = x₀ + v · t