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Física y Química 3.º ESO · Posición, trayectoria y desplazamiento

Sistema de referencia, posición y trayectoria

Objetivo: Al terminar, sabrás elegir un sistema de referencia adecuado y expresar la posición de un cuerpo con signo en una recta y con coordenadas en el plano.

Explicación

1. Elegir un sistema de referencia

Para describir un movimiento primero hay que fijar un sistema de referencia (SR): un origen O, unos ejes con su sentido positivo y una unidad. Lo elegimos nosotros, buscando que las cuentas sean sencillas. Lo más cómodo suele ser:

poner el origen en el punto de salida o en un lugar destacado (el instituto, una estación…);
tomar como sentido positivo aquel hacia el que se mueve el cuerpo.

2. Posición en una recta: el signo importa

Si el movimiento es rectilíneo, usamos un solo eje (eje X). La posición $x$ es un número con signo:

$x > 0$ : el cuerpo está en la parte positiva del eje.
$x < 0$ : está en la parte negativa, al otro lado del origen.
$x = 0$ : está en el origen.

El valor sin el signo indica a qué distancia del origen se encuentra. Por ejemplo, con el origen en el instituto y el sentido positivo hacia el este, $x = -300\ \text{m}$ significa «300 m al oeste del instituto».

Si el movimiento es vertical (un ascensor, una pelota lanzada hacia arriba), el eje suele llamarse Y y se toma positivo hacia arriba.

3. Posición en el plano: coordenadas

Si el cuerpo se mueve en un plano (las calles de un barrio, un campo de fútbol), necesitamos dos ejes perpendiculares: X (por ejemplo, positivo hacia el este) e Y (positivo hacia el norte). La posición se da con dos coordenadas, primero la $x$ y después la $y$ : $P(x, y)$ .

Ejemplo: la biblioteca en $B(200\ \text{m}, -150\ \text{m})$ está 200 m al este y 150 m al sur del origen.

La flecha que va desde el origen hasta el punto donde está el cuerpo se llama vector de posición, $\vec{r}$ .

4. La posición depende del sistema de referencia

Si cambiamos el origen, cambian todas las posiciones, pero no cambia la separación entre dos puntos. En una recta, la distancia entre dos puntos es la posición mayor menos la menor, elijamos el origen que elijamos.

5. Posición sobre la trayectoria

Cuando el camino ya está marcado (una carretera, una vía de tren), la posición se puede medir sobre la propia trayectoria, desde un origen. Es lo que indican los puntos kilométricos: en las autovías radiales españolas (A-1 a A-6) se cuentan desde el Kilómetro Cero de la Puerta del Sol. «Km 25 de la A-6» es una posición sobre la carretera, aunque esta tenga curvas.

6. La trayectoria también es relativa

La trayectoria es la línea que forman las posiciones sucesivas del cuerpo, y su forma también depende del sistema de referencia. Si dejas caer las llaves dentro de un autobús que circula en línea recta sin frenar ni acelerar, tú las ves caer en vertical (trayectoria rectilínea); una persona en la acera ve que avanzan con el autobús mientras caen (trayectoria parabólica).

Puntos clave

Sistema de referencia = origen + ejes con sentido positivo + unidad; lo elegimos para que las cuentas sean sencillas.
En una recta, la posición x lleva signo: el signo dice a qué lado del origen está el cuerpo y el valor, a qué distancia.
En el plano, la posición se da con dos coordenadas P(x, y), primero x y después y.
Si cambia el origen cambian las posiciones, pero no la distancia entre dos puntos.
La trayectoria es la línea que forman las posiciones sucesivas, y su forma depende del sistema de referencia.

Errores frecuentes

ErrorEscribir las posiciones sin signo («300 m») aunque el punto esté al otro lado del origen.
Cómo corregirloPregúntate siempre «¿a qué lado del origen está?» y pon el signo: x = −300 m.
ErrorPensar que una posición negativa significa que el cuerpo «va hacia atrás».
Cómo corregirloEl signo de la posición solo indica en qué lado del origen está el cuerpo, no hacia dónde se mueve.
ErrorEscribir las coordenadas al revés, (y, x).
Cómo corregirloPrimero x (este-oeste o izquierda-derecha) y después y (norte-sur o abajo-arriba), como en Matemáticas.
ErrorCalcular mal la separación entre puntos de distinto signo: entre x = −200 m y x = 300 m «hay 100 m».
Cómo corregirloResta las posiciones: 300 − (−200) = 500 m. Dibuja el eje para comprobarlo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Dónde viven? situación real
Una avenida recta va de oeste a este. Tomamos el origen en el instituto y el sentido positivo hacia el este. Ana vive 400 m al este del instituto, Bruno 250 m al oeste, Carla 600 m al oeste y el polideportivo está 150 m al este.

a) Escribe la posición de cada lugar. b) Ahora ponemos el origen en casa de Ana, con el mismo sentido positivo. Escribe las nuevas posiciones. c) Calcula la distancia entre las casas de Bruno y Ana en los dos sistemas de referencia.

Resolución
a) Instituto: $x = 0$ ; Ana: $x = +400\ \text{m}$ ; Bruno: $x = -250\ \text{m}$ ; Carla: $x = -600\ \text{m}$ ; polideportivo: $x = +150\ \text{m}$ .

b) Todo queda 400 m «más a la izquierda» que antes: a cada posición le restamos 400 m.

Lugar Origen en el instituto Origen en casa de Ana

Instituto 0 −400 m

Ana +400 m 0

Bruno −250 m −650 m

Carla −600 m −1000 m

Polideportivo +150 m −250 m

c) Con origen en el instituto: $400 - (-250) = 650\ \text{m}$ . Con origen en casa de Ana: $0 - (-650) = 650\ \text{m}$ . Las posiciones cambian, la distancia entre ellas no.
Ejemplo 2. El recorrido de Elena por el barrio gráfico (coordenadas en el plano)
La gráfica es un plano del barrio visto desde arriba. El origen está en la boca de Metro (M), el eje X apunta al este y el eje Y al norte. Elena sale del Metro, camina hasta la esquina A, después hasta el instituto I y por último hasta la biblioteca B.

a) Escribe las coordenadas de M, A, I y B. b) Si tomamos el origen en el instituto (con los mismos ejes), ¿cuáles son las coordenadas de la biblioteca y del Metro?

Resolución
a) Leyendo la gráfica: $M(0, 0)$ , $A(300\ \text{m}, 0)$ , $I(300\ \text{m}, 200\ \text{m})$ , $B(100\ \text{m}, 200\ \text{m})$ .

b) Restamos a cada coordenada las del instituto, $(300, 200)$ :
- Biblioteca: $(100 - 300,\ 200 - 200) = (-200\ \text{m}, 0)$ : está 200 m al oeste del instituto.
- Metro: $(0 - 300,\ 0 - 200) = (-300\ \text{m}, -200\ \text{m})$ : está 300 m al oeste y 200 m al sur del instituto.
La línea quebrada M → A → I → B es la trayectoria de Elena.
Ejemplo 3. ¿Cae en vertical o en curva? experimental
En el pasillo, un alumno camina en línea recta a paso constante sosteniendo una pelota a la altura del hombro y la suelta sin lanzarla. Otro alumno, quieto junto a la pared, lo observa. Si es posible, grabad la escena con el móvil desde los dos puntos de vista. ¿Qué trayectoria describe la pelota para cada uno?

Resolución
1. El alumno que camina ve caer la pelota en vertical, junto a sus pies: para él (su sistema de referencia se mueve con él), la trayectoria es rectilínea.
2. El alumno quieto ve que la pelota sigue avanzando hacia delante mientras cae: para él, la trayectoria es curva (una parábola).
3. Conclusión: la trayectoria depende del sistema de referencia, igual que el movimiento o el reposo.

Lugar	Origen en el instituto	Origen en casa de Ana
Instituto	0	−400 m
Ana	+400 m	0
Bruno	−250 m	−650 m
Carla	−600 m	−1000 m
Polideportivo	+150 m	−250 m

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una vía de tren recta va de oeste a este. Tomamos el origen en la estación y el sentido positivo hacia el este. Escribe la posición, en metros, de:

a) un paso a nivel situado 800 m al este; b) un puente 1,2 km al oeste; c) una señal 350 m al oeste; d) la propia estación.

Ver solución
a) +800 m. b) −1200 m. c) −350 m. d) 0 m.
Lo que está al este lleva signo +, lo que está al oeste lleva signo −. b) $1{,}2\ \text{km} = 1200\ \text{m}$ , al oeste: $x = -1200\ \text{m}$ .
2. Media
En un edificio cada planta mide 3 m de altura. Tomamos el origen en el suelo de la planta baja y el sentido positivo hacia arriba (eje Y).

a) Escribe la posición del suelo de: la 4.ª planta, el sótano −1, el garaje −2 y la 7.ª planta. b) ¿Qué distancia vertical hay entre el garaje −2 y la 7.ª planta?

Ver solución
a) 12 m; −3 m; −6 m; 21 m. b) 27 m.
a) Posición = número de planta × 3 m: $4 \cdot 3 = 12\ \text{m}$ ; $-1 \cdot 3 = -3\ \text{m}$ ; $-2 \cdot 3 = -6\ \text{m}$ ; $7 \cdot 3 = 21\ \text{m}$ . b) $21 - (-6) = 27\ \text{m}$ .
3. Media
Mapa del tesoro: el origen es el olivo del patio, el eje X apunta al este y el eje Y al norte (unidades en metros). Escribe las coordenadas de:

a) la fuente: 5 m al este y 3 m al norte del olivo; b) el banco: 4 m al oeste y 2 m al norte; c) la canasta: 6 m al oeste y 5 m al sur; d) la puerta: 7 m al sur.

Ver solución
a) (5, 3). b) (−4, 2). c) (−6, −5). d) (0, −7).
Este → x positiva; oeste → x negativa; norte → y positiva; sur → y negativa. Si no hay desplazamiento en una dirección, esa coordenada vale 0 (la puerta).
4. Media
En una autovía recta, el coche A está en el punto kilométrico 20 y el coche B en el 35. A circula hacia B.

a) Toma el origen en A y el sentido positivo hacia B. ¿Qué posición tiene cada coche? b) Toma ahora el origen en B y el sentido positivo hacia A. ¿Qué posición tiene cada coche? c) ¿Qué sistema de referencia te parece más cómodo para estudiar el movimiento de A? ¿Cambia la distancia entre los coches?

Ver solución
a) A: 0; B: +15 km. b) B: 0; A: +15 km. c) El a), porque A avanza en sentido positivo desde el origen. La distancia es 15 km en los dos.
a) $x_A = 0$ , $x_B = 35 - 20 = 15\ \text{km}$ . b) $x_B = 0$ ; A está 15 km de B en el sentido positivo: $x_A = +15\ \text{km}$ . c) En a) el coche que estudiamos sale del origen y sus posiciones van creciendo, lo que simplifica las cuentas. La separación entre los coches es 15 km en ambos sistemas.
5. Difícil
Un ciclista circula por una calle recta. Piensa en la válvula de una de sus ruedas.

a) ¿Qué trayectoria describe la válvula para el propio ciclista? b) ¿Y para un peatón parado en la acera? c) ¿Qué trayectoria describe el eje de la rueda para el peatón?

Ver solución
a) Una circunferencia. b) Una curva formada por arcos que avanzan (no es una circunferencia). c) Rectilínea.
a) Respecto a la bici, la válvula solo gira alrededor del eje a distancia constante: circunferencia. b) Para el peatón, la válvula gira y a la vez avanza con la bici, así que dibuja una sucesión de arcos que se apoyan en el suelo (esta curva se llama cicloide). c) El eje solo avanza con la bici por la calle recta: trayectoria rectilínea. La trayectoria depende del sistema de referencia.

Para practicar más