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Física y Química 3.º ESO · Velocidad media e instantánea

Velocidad media y velocidad instantánea

Objetivo: Al terminar, sabrás distinguir la velocidad media de la velocidad instantánea y explicar qué mide un velocímetro, un radar fijo y un radar de tramo.

Explicación

Dos velocidades distintas

Cuando un coche va de Madrid a Toledo, unas veces va deprisa, otras despacio y otras está parado en un semáforo. Por eso hablamos de dos velocidades:

Velocidad media: es la que calculamos para todo un trayecto o un intervalo de tiempo. Nos dice qué velocidad constante habría que llevar para hacer ese recorrido en el mismo tiempo: $v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ En esta lección los móviles avanzan siempre en el mismo sentido por su camino (una calle, una carretera) y medimos la posición sobre ese camino, como los puntos kilométricos. Así, el desplazamiento coincide con la distancia recorrida y la velocidad media coincide con la rapidez media: $v_m = \dfrac{d}{\Delta t}$ .
Velocidad instantánea: es la velocidad que lleva el móvil en un instante concreto. Es la que marca la aguja del velocímetro en cada momento.

El velocímetro marca el valor (el módulo) de la velocidad instantánea, pero no indica hacia dónde vas. A ese valor, sin signo ni sentido, lo llamamos rapidez.

¿Cómo se obtiene la velocidad instantánea?

Si calculamos la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez más pequeños alrededor de un instante, el resultado se acerca cada vez más a la velocidad instantánea en ese instante. Un velocímetro hace algo parecido: mide muy rápido cuánto avanza el coche en un tiempo muy corto.

En una gráfica posición-tiempo ( $x$ - $t$ ), la velocidad media entre dos instantes es la pendiente de la recta que une los dos puntos; la velocidad instantánea es la inclinación de la gráfica en ese punto. Cuanto más inclinada está la gráfica, más rápido va el móvil.

Radar fijo y radar de tramo

	Radar fijo	Radar de tramo
¿Qué mide?	Velocidad instantánea al pasar por un punto	Velocidad media en un tramo
¿Cómo?	Mide la velocidad del coche justo en ese punto	Anota la hora de entrada y de salida del tramo y calcula $v_m = \dfrac{\text{longitud del tramo}}{\text{tiempo empleado}}$
¿Se puede «engañar» frenando?	Sí, frenando solo al pasar por delante	No: si la media supera el límite, en algún momento se superó

Caso especial: velocidad constante

Si un móvil va siempre a la misma velocidad (movimiento uniforme), la velocidad instantánea es la misma en todo momento y coincide con la velocidad media. En los demás movimientos, en general, son distintas.

Puntos clave

La velocidad media se refiere a un intervalo de tiempo: $v_m = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ .
La velocidad instantánea se refiere a un instante concreto; su valor es el que marca el velocímetro.
La velocidad instantánea se obtiene calculando velocidades medias en intervalos de tiempo cada vez más pequeños.
El radar fijo mide la velocidad instantánea; el radar de tramo calcula la velocidad media.
Si la velocidad media en un tramo supera el límite, seguro que en algún momento la velocidad instantánea también lo superó.
Solo cuando la velocidad es constante coinciden la velocidad media y la instantánea.

Errores frecuentes

ErrorPensar que la velocidad media es la media de los valores que marcó el velocímetro (por ejemplo, (0 + 120) / 2).
Cómo corregirloLa velocidad media se calcula siempre dividiendo el desplazamiento (o la distancia, si va en un solo sentido) entre el tiempo total, incluido el tiempo parado.
ErrorCreer que si la velocidad media es menor que el límite, nunca se superó el límite.
Cómo corregirloLa media puede ser baja aunque en algunos momentos se fuera muy rápido y en otros muy despacio. Lo que sí es seguro es lo contrario: si la media supera el límite, en algún instante se superó.
ErrorMezclar unidades: dividir kilómetros entre segundos y dar el resultado en km/h.
Cómo corregirloPasa antes el tiempo a horas (para km/h) o la distancia a metros (para m/s). Recuerda: 1 m/s = 3,6 km/h.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El velocímetro en un viaje a Segovia situación real
Una familia viaja en coche de Madrid a Segovia: recorre 90 km en 1 h 15 min. Durante el viaje, el velocímetro marcó 0 km/h en un semáforo, 50 km/h por la ciudad y 120 km/h en la autopista. ¿Cuál fue la velocidad media? ¿Coincide con alguno de los valores del velocímetro?

Resolución
1. Pasamos el tiempo a horas: $1\text{ h } 15\text{ min} = 1{,}25\ \text{h}$ .
2. Velocidad media del viaje: $v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{90\ \text{km}}{1{,}25\ \text{h}} = 72\ \text{km/h}$
3. En m/s: $72 : 3{,}6 = 20\ \text{m/s}$ .
4. El velocímetro nunca tuvo por qué marcar 72 km/h durante un rato largo: unas veces marcó más (120 km/h) y otras menos (0 o 50 km/h). Los 72 km/h son la velocidad constante con la que se habría hecho el mismo viaje en el mismo tiempo.
Conclusión: el velocímetro da la velocidad instantánea (cambia continuamente); la velocidad media es un único valor para todo el trayecto.
Ejemplo 2. Radar fijo y radar de tramo en un túnel de la M-30 numérico
En un túnel de la M-30 el límite es de 70 km/h. Un radar fijo a la entrada mide 68 km/h a un coche. Al final del túnel hay un radar de tramo: el coche ha recorrido los 2,4 km del tramo en 1 min 48 s. a) ¿Le multa el radar fijo? b) ¿Y el de tramo? c) ¿Cuánto tiempo, como mínimo, debe tardar en recorrer el tramo para no ser multado?

Resolución
a) El radar fijo mide la velocidad instantánea en ese punto: 68 km/h < 70 km/h. No hay multa.

b) El radar de tramo calcula la velocidad media. Pasamos los datos a unidades coherentes:
- $\Delta x = 2{,}4\ \text{km} = 2400\ \text{m}$
- $\Delta t = 1\ \text{min}\ 48\ \text{s} = 108\ \text{s}$
$v_m = \frac{2400\ \text{m}}{108\ \text{s}} = 22{,}2\ \text{m/s} \;\rightarrow\; 22{,}2 \cdot 3{,}6 = 80\ \text{km/h}$

80 km/h > 70 km/h: el radar de tramo sí le multa. Aunque al entrar iba a 68 km/h, dentro del túnel tuvo que ir más rápido que 70 km/h durante bastante tiempo.

c) Para que la media no pase de 70 km/h: $\Delta t = \frac{\Delta x}{v_m} = \frac{2{,}4\ \text{km}}{70\ \text{km/h}} = 0{,}0343\ \text{h} = 123{,}4\ \text{s}$ Debe tardar al menos 123,4 s, unos 2 min 3 s.

Ejemplo 3. Acercándonos a un instante numérico y gráfico (intervalos cada vez más pequeños)

Grabamos en vídeo una bola que baja por una rampa y medimos su posición. Su gráfica posición-tiempo es la de la figura. Algunas posiciones son: $x(2\ \text{s}) = 2$ m; $x(2{,}01\ \text{s}) = 2{,}020$ m; $x(2{,}1\ \text{s}) = 2{,}205$ m; $x(2{,}5\ \text{s}) = 3{,}125$ m; $x(3\ \text{s}) = 4{,}5$ m; $x(4\ \text{s}) = 8$ m. Calcula la velocidad media desde $t = 2$ s hasta cada uno de los otros instantes y estima la velocidad instantánea en $t = 2$ s.

Resolución

Calculamos $v_m = \dfrac{x - x(2)}{t - 2}$ para intervalos cada vez más cortos:

Intervalo	$\Delta x$ (m)	$\Delta t$ (s)	$v_m$ (m/s)
2 s → 4 s	6	2	3
2 s → 3 s	2,5	1	2,5
2 s → 2,5 s	1,125	0,5	2,25
2 s → 2,1 s	0,205	0,1	2,05
2 s → 2,01 s	0,020	0,01	2,0 (≈ 2,005)

Cuanto más pequeño es el intervalo, más se acerca la velocidad media a 2 m/s. Esa es la velocidad instantánea en $t = 2$ s.

En la gráfica se ve que la curva es cada vez más inclinada: la bola va cada vez más rápido, por eso la velocidad media entre 2 s y 4 s (3 m/s) es mayor que la velocidad en el instante 2 s.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica si cada dato es una velocidad media o instantánea: a) El velocímetro de una bici marca 18 km/h. b) Un AVE recorre unos 470 km de vía entre Madrid y Sevilla en 2 h 30 min. c) Un radar fijo detecta un coche a 95 km/h. d) Un radar de tramo calcula que un coche ha ido a 112 km/h. e) La app del móvil dice que has corrido 5 km a 10 km/h.

Ver solución
a) instantánea; b) media (188 km/h); c) instantánea; d) media; e) media.
a) El velocímetro marca la velocidad en cada instante → instantánea. b) Es un trayecto completo → media: $v_m = 470\ \text{km} : 2{,}5\ \text{h} = 188\ \text{km/h}$ . c) El radar fijo mide en un punto → instantánea. d) El radar de tramo divide longitud entre tiempo → media. e) Se refiere a toda la carrera → media.
2. Fácil
Una atleta del club de atletismo de tu barrio corre los 100 m lisos en 12,5 s. a) Calcula su velocidad media en m/s y en km/h. b) Con un sensor se comprueba que, en la parte final de la carrera, llega a ir a unos 9,5 m/s. ¿Por qué su velocidad media es menor?

Ver solución
a) 8 m/s = 28,8 km/h. b) Porque sale desde parada: al principio su velocidad instantánea es mucho menor que 9,5 m/s.
a) $v_m = \dfrac{100\ \text{m}}{12{,}5\ \text{s}} = 8\ \text{m/s}$ ; $8 \cdot 3{,}6 = 28{,}8\ \text{km/h}$ . b) 9,5 m/s (unos 34 km/h) es una velocidad instantánea máxima. La atleta parte del reposo (0 m/s) y tarda varios segundos en alcanzar su velocidad máxima; esos primeros metros más lentos hacen que la media sea menor.
3. Media
En una autovía hay un radar de tramo de 5 km con un límite de 100 km/h. En medio del tramo, un radar fijo mide a un coche 95 km/h. El coche tarda 2 min 40 s en recorrer el tramo. a) ¿Le multa el radar fijo? b) ¿Y el de tramo? c) ¿Cuál es el tiempo mínimo para recorrer el tramo sin ser multado?

Ver solución
a) No (95 < 100 km/h). b) Sí: velocidad media 112,5 km/h. c) 3 min.
a) Velocidad instantánea 95 km/h < 100 km/h → no. b) $\Delta t = 160\ \text{s} = \dfrac{160}{3600}\ \text{h} = 0{,}0444\ \text{h}$ ; $v_m = \dfrac{5\ \text{km}}{0{,}0444\ \text{h}} = 112{,}5\ \text{km/h}$ > 100 km/h → multa. c) $\Delta t = \dfrac{5\ \text{km}}{100\ \text{km/h}} = 0{,}05\ \text{h} = 3\ \text{min}$ .
4. Difícil
Razona: a) Un conductor recorre un tramo con radar de 90 km/h y su velocidad media es 85 km/h. ¿Podemos asegurar que nunca superó los 90 km/h? b) Otro conductor tiene una velocidad media de 95 km/h en el mismo tramo. ¿Podemos asegurar que en algún momento superó los 90 km/h?

Ver solución
a) No. b) Sí.
a) No: pudo ir un rato a 110 km/h y otro rato a 60 km/h, y que la media salga 85 km/h. b) Sí: si hubiera ido siempre a 90 km/h o menos, habría tardado como mínimo lo que se tarda a 90 km/h y su media no podría pasar de 90 km/h. Como la media es 95 km/h, en algún momento su velocidad instantánea fue mayor que 90 km/h.
5. Media
La gráfica muestra la posición de un patinador que se mueve en línea recta. a) Calcula su velocidad media entre 0 y 10 s. b) ¿Cuál es su velocidad instantánea en $t = 3$ s? ¿Y en $t = 8$ s? Razona.

Ver solución
a) 5 m/s. b) 5 m/s en los dos instantes, porque la gráfica es una recta (velocidad constante).
a) $v_m = \dfrac{50\ \text{m} - 0\ \text{m}}{10\ \text{s} - 0\ \text{s}} = 5\ \text{m/s}$ . b) La gráfica es una recta: tiene la misma inclinación en todos sus puntos, así que la velocidad no cambia. La velocidad instantánea es 5 m/s en cualquier instante y coincide con la media.

Para practicar más

1. Fácil
Indica si cada frase habla de velocidad media o instantánea y, si se puede, calcula su valor: a) Un taxi recorre 12 km por Madrid en 20 min. b) La pantalla de la cinta de correr del gimnasio marca 9 km/h. c) El piloto de un avión anuncia: «ahora mismo volamos a 850 km/h».

Ver solución
a) Media: 36 km/h. b) Instantánea. c) Instantánea.
a) Es un trayecto completo → media. $20\ \text{min} = \tfrac{1}{3}\ \text{h}$ ; $v_m = 12\ \text{km} : \tfrac{1}{3}\ \text{h} = 36\ \text{km/h}$ . b) Marca la velocidad en cada momento → instantánea. c) «Ahora mismo» → instantánea.
2. Fácil
Marta tarda 20 min en ir andando a su instituto, que está a 1,5 km de su casa. Por el camino se para en un semáforo. a) Calcula su velocidad media en km/h y en m/s. b) ¿Significa eso que Marta camina siempre a esa velocidad? Explícalo.

Ver solución
a) 4,5 km/h = 1,25 m/s. b) No; es la media del trayecto (incluye el tiempo parada).
a) $20\ \text{min} = \tfrac{1}{3}\ \text{h}$ ; $v_m = 1{,}5\ \text{km} : \tfrac{1}{3}\ \text{h} = 4{,}5\ \text{km/h}$ ; $4{,}5 : 3{,}6 = 1{,}25\ \text{m/s}$ . b) No. En el semáforo su velocidad instantánea fue 0, así que en otros momentos caminó a más de 4,5 km/h. La media resume todo el trayecto.
3. Media
En un túnel de la M-30 (límite 70 km/h) hay un radar de tramo de 1,8 km. Un coche lo recorre en 1 min 20 s. a) ¿Será multado? b) ¿Cuánto tiempo, como mínimo, debería haber tardado para no serlo?

Ver solución
a) Sí: va a 81 km/h de media. b) 92,6 s, unos 1 min 33 s.
a) $\Delta t = 80\ \text{s}$ ; $v_m = \dfrac{1800\ \text{m}}{80\ \text{s}} = 22{,}5\ \text{m/s} = 22{,}5 \cdot 3{,}6 = 81\ \text{km/h}$ > 70 km/h → multa. b) $\Delta t = \dfrac{1{,}8\ \text{km}}{70\ \text{km/h}} = 0{,}0257\ \text{h} = 92{,}6\ \text{s} \approx 1\ \text{min}\ 33\ \text{s}$ .
4. Difícil
Una moto arranca en un semáforo. Medimos su posición: $x(3\ \text{s}) = 9{,}00$ m; $x(3{,}1\ \text{s}) = 9{,}61$ m; $x(3{,}5\ \text{s}) = 12{,}25$ m; $x(4\ \text{s}) = 16{,}00$ m. a) Calcula la velocidad media entre $t = 3$ s y cada uno de los otros instantes. b) Estima la velocidad instantánea de la moto en $t = 3$ s.

Ver solución
a) 7 m/s; 6,5 m/s; 6,1 m/s. b) Unos 6 m/s.
a) 3 s → 4 s: $\dfrac{16 - 9}{1} = 7\ \text{m/s}$ ; 3 s → 3,5 s: $\dfrac{12{,}25 - 9}{0{,}5} = 6{,}5\ \text{m/s}$ ; 3 s → 3,1 s: $\dfrac{9{,}61 - 9}{0{,}1} = 6{,}1\ \text{m/s}$ . b) Al hacer el intervalo más pequeño, la velocidad media se acerca a 6 m/s: la velocidad instantánea en $t = 3$ s es unos 6 m/s.