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Explicación

1. Dos formas de medir «lo rápido» que se va

Rapidez media: distancia recorrida entre el tiempo empleado. Es escalar y siempre positiva. $\text{rapidez media} = \frac{d}{\Delta t}$
Velocidad media: desplazamiento entre el tiempo empleado. Es vectorial: tiene la dirección y el sentido del desplazamiento. $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$

Si el movimiento es en una recta (eje X), la velocidad media se escribe con signo: $v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_0}{t_f - t_0}$

Las dos se miden en m/s en el SI (o en km/h).

Atención: en el lenguaje de la calle, y en algunos libros, se llama «velocidad media» a lo que aquí llamamos rapidez media. En Física conviene distinguirlas, porque pueden ser muy diferentes.

2. El signo de la velocidad media en una recta

$v_m > 0$ : en conjunto, el cuerpo se ha desplazado en el sentido positivo del eje.
$v_m < 0$ : se ha desplazado en el sentido negativo.
$v_m = 0$ : ha terminado donde empezó, aunque se haya movido.

3. Relación entre las dos

Como $|\Delta\vec{r}| \le d$ , siempre se cumple: $|\vec{v}_m| \le \text{rapidez media}$ Son iguales solo si el movimiento es rectilíneo y siempre en el mismo sentido.

4. Viajes por tramos

La rapidez media de un viaje con varios tramos es la distancia total entre el tiempo total, incluidas las paradas. Del mismo modo, la velocidad media es el desplazamiento total entre el tiempo total. No se calcula haciendo la media de las rapideces de cada tramo (solo coincidiría si todos los tramos duraran lo mismo).

Puntos clave

Rapidez media = distancia recorrida : tiempo (escalar, siempre positiva).
Velocidad media = desplazamiento : tiempo (vectorial); en una recta, v_m = Δx/Δt con signo.
El signo de v_m indica el sentido neto del movimiento; si el cuerpo vuelve al punto de partida, v_m = 0.
Siempre |v_m| ≤ rapidez media; son iguales en un movimiento rectilíneo en un único sentido.
En viajes por tramos: distancia total entre tiempo total, incluidas las paradas; nunca la media de las rapideces.

Errores frecuentes

ErrorUsar la distancia recorrida para calcular la velocidad media.
Cómo corregirloLa velocidad media usa el desplazamiento (final menos inicial); la distancia recorrida es para la rapidez media.
ErrorCalcular la rapidez media de un viaje haciendo la media de las rapideces de los tramos ((120 + 60) : 2 = 90 km/h).
Cómo corregirloCalcula la distancia total y el tiempo total de todos los tramos y divide: 120 km : 1,5 h = 80 km/h.
ErrorOlvidar el tiempo de las paradas.
Cómo corregirloEl tiempo total es desde que sale hasta que llega, también el que pasa parado.
ErrorQuitar el signo negativo a la velocidad media en una recta.
Cómo corregirloEl signo forma parte del resultado: v_m = −2 m/s significa que se ha desplazado en sentido negativo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Ida y vuelta a la biblioteca situación real
Mario va desde su casa hasta la biblioteca municipal, situada a 1200 m por una calle recta, y tarda 15 min. Está 5 min dentro devolviendo un libro y vuelve a casa en 20 min. Tomamos el origen en su casa y el sentido positivo hacia la biblioteca.

a) Calcula su velocidad media y su rapidez media en la ida. b) Calcula su velocidad media en la vuelta. c) Calcula su velocidad media y su rapidez media en todo el recorrido.

Resolución
a) Ida: $\Delta x = 1200 - 0 = +1200\ \text{m}$ ; $\Delta t = 15\ \text{min} = 900\ \text{s}$ . $v_m = \dfrac{1200}{900} = +1{,}33\ \text{m/s}$ . Como va en línea recta y en un solo sentido, la rapidez media también es 1,33 m/s.

b) Vuelta: $\Delta x = 0 - 1200 = -1200\ \text{m}$ ; $\Delta t = 20\ \text{min} = 1200\ \text{s}$ . $v_m = \dfrac{-1200}{1200} = -1{,}00\ \text{m/s}$ . El signo negativo indica que vuelve en sentido contrario.

c) Todo el recorrido: $\Delta x = 0 - 0 = 0$ , así que $v_m = 0$ . Distancia recorrida: $d = 1200 + 1200 = 2400\ \text{m}$ ; tiempo total (con la parada): $15 + 5 + 20 = 40\ \text{min} = 2400\ \text{s}$ . $\text{rapidez media} = \dfrac{2400}{2400} = 1{,}00\ \text{m/s}$ .
Ejemplo 2. ¿90 km/h de media? La trampa de los tramos numérico
Una familia va de Madrid a su pueblo. Los primeros 60 km los hace por autovía con una rapidez media de 120 km/h, y los últimos 60 km, por una carretera comarcal, con una rapidez media de 60 km/h. ¿Cuál es la rapidez media de todo el viaje? ¿Es 90 km/h?

Resolución
1. Tiempo de cada tramo: $t_1 = \dfrac{60}{120} = 0{,}5\ \text{h}$ ; $t_2 = \dfrac{60}{60} = 1\ \text{h}$ .
2. Totales: $d = 60 + 60 = 120\ \text{km}$ ; $t = 0{,}5 + 1 = 1{,}5\ \text{h}$ .
3. $\text{rapidez media} = \dfrac{120\ \text{km}}{1{,}5\ \text{h}} = 80\ \text{km/h}$ .
No es 90 km/h: el coche pasa más tiempo en el tramo lento (1 h) que en el rápido (0,5 h), así que la media queda más cerca de 60 km/h. Solo saldría 90 km/h si los dos tramos duraran lo mismo (por ejemplo, 1 h a 120 km/h y 1 h a 60 km/h: $180 : 2 = 90\ \text{km/h}$ ).
Ejemplo 3. Velocidad media en el plano gráfico
Un turista camina por una ciudad 240 m hacia el este y después 180 m hacia el norte, como muestra la gráfica (vista desde arriba). Tarda 5 min en total. Calcula su rapidez media y el módulo de su velocidad media.

Resolución
1. $d = 240 + 180 = 420\ \text{m}$ ; $\Delta t = 5\ \text{min} = 300\ \text{s}$ .
2. $\text{rapidez media} = \dfrac{420}{300} = 1{,}4\ \text{m/s}$ .
3. Desplazamiento (Pitágoras): $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{240^2 + 180^2} = \sqrt{90\,000} = 300\ \text{m}$ .
4. $|\vec{v}_m| = \dfrac{300}{300} = 1{,}0\ \text{m/s}$ , con la dirección y el sentido del desplazamiento (hacia el noreste).
Comprobación: $|\vec{v}_m| = 1{,}0\ \text{m/s} < \text{rapidez media} = 1{,}4\ \text{m/s}$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un ciclista circula por una carretera recta. Pasa de $x_0 = 2\ \text{km}$ a $x_f = 14\ \text{km}$ en 30 min sin cambiar de sentido. Calcula su velocidad media en km/h y en m/s. ¿Cuánto vale su rapidez media?

Ver solución
v_m = +24 km/h = 6,67 m/s. Rapidez media: también 24 km/h.
$\Delta x = 14 - 2 = 12\ \text{km}$ ; $\Delta t = 0{,}5\ \text{h}$ . $v_m = \dfrac{12}{0{,}5} = 24\ \text{km/h}$ ; $24 : 3{,}6 = 6{,}67\ \text{m/s}$ . Como no cambia de sentido, $d = |\Delta x|$ y la rapidez media es la misma.
2. Media
Un ascensor baja desde la 8.ª planta ( $y_0 = 24\ \text{m}$ ) hasta la planta baja ( $y_f = 0$ ) en 12 s, sin paradas. Con el sentido positivo hacia arriba, calcula su velocidad media y su rapidez media. ¿Qué significa el signo?

Ver solución
v_m = −2 m/s; rapidez media 2 m/s. El signo indica que baja.
$\Delta y = 0 - 24 = -24\ \text{m}$ . $v_m = \dfrac{-24}{12} = -2\ \text{m/s}$ . Rapidez media: $\dfrac{24}{12} = 2\ \text{m/s}$ . El signo negativo indica que se ha desplazado en sentido negativo, es decir, hacia abajo.
3. Media
Un nadador hace 100 m (dos largos de una piscina de 50 m) en 80 s. El primer largo lo hace en 38 s.

a) Calcula su rapidez media y su velocidad media en los 100 m. b) Calcula su velocidad media en el primer largo.

Ver solución
a) Rapidez media 1,25 m/s; v_m = 0. b) v_m = 1,32 m/s.
a) $\text{rapidez media} = \dfrac{100}{80} = 1{,}25\ \text{m/s}$ . Termina donde empezó: $\Delta x = 0 \Rightarrow v_m = 0$ . b) $v_m = \dfrac{50}{38} = 1{,}32\ \text{m/s}$ (en el sentido de la ida).
4. Media
Una corredora entrena por un camino recto: hace 3 km en 15 min, descansa 5 min y hace 2 km más, en el mismo sentido, en 10 min.

a) Calcula la rapidez media de cada tramo de carrera. b) Calcula la rapidez media de todo el entrenamiento. ¿Por qué no coincide con la de los tramos?

Ver solución
a) 12 km/h y 12 km/h. b) 10 km/h, porque el descanso también cuenta en el tiempo total.
a) Tramo 1: $\dfrac{3\ \text{km}}{0{,}25\ \text{h}} = 12\ \text{km/h}$ . Tramo 2: $\dfrac{2\ \text{km}}{1/6\ \text{h}} = 12\ \text{km/h}$ . b) $d = 5\ \text{km}$ ; $t = 15 + 5 + 10 = 30\ \text{min} = 0{,}5\ \text{h}$ . $\text{rapidez media} = \dfrac{5}{0{,}5} = 10\ \text{km/h}$ . Es menor que 12 km/h porque durante los 5 min de descanso no avanza, pero el tiempo sigue corriendo.
5. Difícil
Un coche va de un pueblo A a otro B, a 120 km por una carretera recta, con una rapidez media de 60 km/h, y vuelve de B a A con una rapidez media de 40 km/h. Calcula la rapidez media y la velocidad media del viaje completo. ¿Es la rapidez media 50 km/h?

Ver solución
Rapidez media 48 km/h (no 50); velocidad media 0.
$t_{\text{ida}} = \dfrac{120}{60} = 2\ \text{h}$ ; $t_{\text{vuelta}} = \dfrac{120}{40} = 3\ \text{h}$ . $\text{rapidez media} = \dfrac{240\ \text{km}}{5\ \text{h}} = 48\ \text{km/h}$ . No es 50 km/h porque pasa más tiempo yendo despacio. Vuelve al punto de partida: $\Delta x = 0 \Rightarrow v_m = 0$ .

Para practicar más

1. Fácil
Un tren de Cercanías recorre un tramo de vía recta desde $x_0 = 0$ hasta $x_f = 18\ \text{km}$ en 15 min, sin cambiar de sentido. Calcula su velocidad media en km/h y en m/s.

Ver solución
72 km/h = 20 m/s.
$\Delta t = 15\ \text{min} = 0{,}25\ \text{h}$ . $v_m = \dfrac{18}{0{,}25} = 72\ \text{km/h}$ . $72\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}} \cdot \dfrac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}} \cdot \dfrac{1\ \text{h}}{3600\ \text{s}} = 20\ \text{m/s}$ .
2. Media
Una patinadora se mueve por un carril recto. Sale de $x_0 = 50\ \text{m}$ , llega a $x = 350\ \text{m}$ en 60 s y después vuelve hasta $x_f = 200\ \text{m}$ en 40 s. Calcula para todo el recorrido: el desplazamiento, la distancia recorrida, la velocidad media y la rapidez media.

Ver solución
Δx = +150 m; d = 450 m; v_m = +1,5 m/s; rapidez media 4,5 m/s.
$\Delta x = 200 - 50 = +150\ \text{m}$ . $d = (350 - 50) + (350 - 200) = 300 + 150 = 450\ \text{m}$ . $\Delta t = 60 + 40 = 100\ \text{s}$ . $v_m = \dfrac{150}{100} = +1{,}5\ \text{m/s}$ ; $\text{rapidez media} = \dfrac{450}{100} = 4{,}5\ \text{m/s}$ .
3. Media
Un dron de reparto vuela 600 m hacia el norte en 40 s y después 800 m hacia el este en 60 s. Calcula su rapidez media y el módulo de su velocidad media.

Ver solución
Rapidez media 14 m/s; |v_m| = 10 m/s.
$d = 600 + 800 = 1400\ \text{m}$ ; $\Delta t = 100\ \text{s}$ ; $\text{rapidez media} = 14\ \text{m/s}$ . $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{600^2 + 800^2} = 1000\ \text{m}$ ; $|\vec{v}_m| = \dfrac{1000}{100} = 10\ \text{m/s}$ (hacia el noreste).
4. Media
En un viaje en coche, una familia circula 1 h a 100 km/h, para 30 min a descansar y después circula 1,5 h a 80 km/h. Calcula la rapidez media del viaje completo.

Ver solución
73,3 km/h.
$d = 100 \cdot 1 + 80 \cdot 1{,}5 = 100 + 120 = 220\ \text{km}$ . $t = 1 + 0{,}5 + 1{,}5 = 3\ \text{h}$ . $\text{rapidez media} = \dfrac{220}{3} = 73{,}3\ \text{km/h}$ .
5. Difícil
Responde razonadamente:

a) ¿Puede un corredor tener una velocidad media nula y una rapidez media de 4 m/s? Pon un ejemplo. b) ¿Puede tener una velocidad media de módulo 4 m/s y una rapidez media de 3 m/s?

Ver solución
a) Sí, si vuelve al punto de partida (una vuelta a la pista). b) No, porque |v_m| ≤ rapidez media.
a) Sí: si da una vuelta completa a una pista de 400 m en 100 s, su rapidez media es 4 m/s y, como termina donde empezó, su velocidad media es 0. b) No: el módulo del desplazamiento nunca supera la distancia recorrida, así que el módulo de la velocidad media nunca supera la rapidez media.