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Física y Química 3.º ESO · Desplazamiento, distancia y velocidad media

Desplazamiento y distancia recorrida en el plano

Objetivo: Al terminar, sabrás dibujar el vector desplazamiento de un recorrido en el plano, calcular su módulo con el teorema de Pitágoras y compararlo con la distancia recorrida.

Explicación

1. El vector desplazamiento

Cuando un cuerpo se mueve en un plano, pasa de una posición inicial $P_0$ a una posición final $P_f$ . El desplazamiento, $\Delta\vec{r}$ , es el vector que va en línea recta desde la posición inicial hasta la final.

Su módulo, $|\Delta\vec{r}|$ , es la distancia en línea recta entre las dos posiciones.
Su dirección y sentido indican hacia dónde ha cambiado de posición el cuerpo (por ejemplo, «hacia el noreste»).
No depende del camino seguido: solo del punto de partida y del de llegada.

2. La distancia recorrida

La distancia recorrida (o espacio recorrido), $d$ , es la longitud de la trayectoria: la suma de las longitudes de todos los tramos. Es una magnitud escalar.

Como la línea recta es el camino más corto entre dos puntos, siempre se cumple: $|\Delta\vec{r}| \le d$ Solo son iguales si la trayectoria es rectilínea y se recorre en un único sentido.

3. Cálculo con coordenadas: el teorema de Pitágoras

Con un sistema de referencia de ejes X (este) e Y (norte), si el cuerpo pasa de $P_0(x_0, y_0)$ a $P_f(x_f, y_f)$ :

Cambio en la dirección X: $\Delta x = x_f - x_0$ .
Cambio en la dirección Y: $\Delta y = y_f - y_0$ .

Como los dos cambios son perpendiculares, son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el desplazamiento: $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$

Truco para recorridos por calles en cuadrícula: suma por separado, con signo, todos los tramos este-oeste (eso da $\Delta x$ ) y todos los tramos norte-sur (eso da $\Delta y$ ). Los tramos en sentidos opuestos se anulan.

4. Trayectorias curvas

Si la trayectoria es una circunferencia de radio $R$ (una rotonda, una noria):

Media vuelta: $d = \pi R$ (media circunferencia) y $|\Delta\vec{r}| = 2R$ (el diámetro).
Vuelta completa: $d = 2\pi R$ y $\Delta\vec{r} = 0$ , porque vuelve al punto de partida.

Puntos clave

El desplazamiento Δr es la flecha que va en línea recta de la posición inicial a la final; no depende del camino.
La distancia recorrida d es la longitud de la trayectoria: suma de todos los tramos.
Siempre |Δr| ≤ d; son iguales solo en un movimiento rectilíneo en un único sentido.
Con tramos perpendiculares: |Δr| = √(Δx² + Δy²) (teorema de Pitágoras).
Si el cuerpo vuelve al punto de partida, el desplazamiento es cero aunque haya recorrido mucha distancia.

Errores frecuentes

ErrorSumar los tramos para calcular el desplazamiento (300 m + 400 m = 700 m).
Cómo corregirloEso es la distancia recorrida. El desplazamiento es la flecha del inicio al final: con tramos perpendiculares, usa Pitágoras (500 m).
ErrorHacer √(a² + b²) = a + b, o sumar los catetos sin elevarlos al cuadrado.
Cómo corregirloPrimero eleva cada cambio al cuadrado, después suma y, al final, haz la raíz: √(300² + 400²) = √250 000 = 500.
ErrorNo tener en cuenta los tramos que se anulan (ir 200 m al norte y luego 200 m al sur).
Cómo corregirloCalcula Δx y Δy con signo: los tramos en sentidos opuestos se restan.
ErrorDar solo el número del desplazamiento.
Cómo corregirloEs un vector: indica también hacia dónde («500 m hacia el noreste») o dibuja la flecha.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Paseo por el barrio de Salamanca gráfico (recorrido en cuadrícula)
Las calles del barrio de Salamanca (Madrid) forman una cuadrícula. Sara sale de su portal (origen), camina 300 m hacia el este y después 400 m hacia el norte, como muestra la gráfica (vista desde arriba).

a) ¿Qué distancia ha recorrido? b) Dibuja su desplazamiento y calcula su módulo.

Resolución
a) $d = 300 + 400 = 700\ \text{m}$ .

b) El desplazamiento es la flecha que va del portal $(0, 0)$ al punto final $(300, 400)$ : la línea recta de la gráfica. Los dos tramos son perpendiculares, así que forman un triángulo rectángulo: $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{90\,000 + 160\,000} = \sqrt{250\,000} = 500\ \text{m}$ Hacia el noreste (algo más hacia el norte que hacia el este).

Comprobación: $|\Delta\vec{r}| = 500\ \text{m} < d = 700\ \text{m}$ .
Ejemplo 2. Vueltas a la glorieta numérico (trayectoria circular)
Un coche entra en una glorieta circular de 25 m de radio y sale por el lado opuesto, después de recorrer media vuelta.

a) Calcula la distancia recorrida y el módulo del desplazamiento. b) ¿Y si diera una vuelta completa y saliera por donde entró?

Resolución
a) Media circunferencia: $d = \pi R = \pi \cdot 25 = 78{,}5\ \text{m}$ . El punto de salida y el de llegada son opuestos, así que el desplazamiento es el diámetro: $|\Delta\vec{r}| = 2R = 50\ \text{m}$ .

b) Vuelta completa: $d = 2\pi R = 2\pi \cdot 25 = 157{,}1\ \text{m}$ . Vuelve al punto de entrada: $\Delta\vec{r} = 0$ .
Ejemplo 3. Pitágoras en el patio experimental
En el patio, un alumno sale de un punto marcado con tiza, camina 6 m en línea recta (medidos con una cinta métrica), gira 90° y camina 8 m más. Después medimos con la cinta la distancia en línea recta entre la marca de salida y su posición final.

a) ¿Qué valor esperas obtener? b) Si el alumno vuelve en línea recta a la marca de salida, ¿cuánto vale la distancia recorrida total? ¿Y su desplazamiento?

Resolución
a) Los dos tramos son perpendiculares: $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\ \text{m}$ . La cinta debe marcar unos 10 m (habrá una pequeña diferencia por los errores de medida).

b) $d = 6 + 8 + 10 = 24\ \text{m}$ ; como termina donde empezó, $\Delta\vec{r} = 0$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
La gráfica muestra, vista desde arriba, el recorrido de Iván desde su casa (origen) hasta el instituto.

a) ¿Qué distancia ha recorrido? b) ¿Cuáles son las coordenadas del instituto? c) Calcula el módulo de su desplazamiento.

Ver solución
a) 1700 m. b) (1200 m, 500 m). c) 1300 m.
a) Tramos: 500 m al norte y 1200 m al este: $d = 500 + 1200 = 1700\ \text{m}$ . b) $(1200\ \text{m}, 500\ \text{m})$ . c) $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{1200^2 + 500^2} = \sqrt{1\,690\,000} = 1300\ \text{m}$ .
2. Media
Una excursionista camina 2 km hacia el norte, 3 km hacia el este y 2 km hacia el sur. Calcula la distancia recorrida y su desplazamiento.

Ver solución
d = 7 km; Δr = 3 km hacia el este.
$d = 2 + 3 + 2 = 7\ \text{km}$ . Con signo: $\Delta y = +2 - 2 = 0$ ; $\Delta x = +3\ \text{km}$ . El desplazamiento es de 3 km hacia el este. Un esquema lo deja claro: el recorrido tiene forma de «U» invertida.
3. Media
Un futbolista conduce el balón 30 m en línea recta hacia la portería contraria y después 16 m en dirección perpendicular, hacia la banda. Calcula la distancia recorrida y el módulo del desplazamiento del balón.

Ver solución
d = 46 m; |Δr| = 34 m.
$d = 30 + 16 = 46\ \text{m}$ . $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34\ \text{m}$ .
4. Media
Un taxi va del punto $A(-200\ \text{m}, 100\ \text{m})$ al punto $B(400\ \text{m}, 900\ \text{m})$ . Calcula $\Delta x$ , $\Delta y$ y el módulo del desplazamiento. ¿Puede haber recorrido el taxi menos de esa distancia?

Ver solución
Δx = 600 m; Δy = 800 m; |Δr| = 1000 m. No: como mínimo recorre 1000 m.
$\Delta x = 400 - (-200) = 600\ \text{m}$ ; $\Delta y = 900 - 100 = 800\ \text{m}$ . $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{600^2 + 800^2} = \sqrt{1\,000\,000} = 1000\ \text{m}$ . Como $d \ge |\Delta\vec{r}|$ , el taxi ha recorrido 1000 m o más (más, si ha ido por calles).
5. Difícil
Una cabina de una noria de 15 m de radio sube desde el punto más bajo hasta el más alto.

a) Calcula la distancia recorrida y el desplazamiento (módulo, dirección y sentido). b) ¿Cuánto valen si la cabina da una vuelta completa?

Ver solución
a) d = 47,1 m; |Δr| = 30 m, vertical, hacia arriba. b) d = 94,2 m; Δr = 0.
a) Media vuelta: $d = \pi \cdot 15 = 47{,}1\ \text{m}$ . El desplazamiento es el diámetro vertical: $2 \cdot 15 = 30\ \text{m}$ hacia arriba. b) $d = 2\pi \cdot 15 = 94{,}2\ \text{m}$ ; vuelve al punto de partida: $\Delta\vec{r} = 0$ .
6. Difícil
Un repartidor sale del restaurante, recorre 600 m hacia el este y 800 m hacia el norte hasta la casa del cliente y vuelve al restaurante en línea recta, atajando por un parque.

a) ¿Cuál es su desplazamiento al llegar a casa del cliente? b) ¿Cuál es la distancia recorrida en el viaje completo? ¿Y el desplazamiento?

Ver solución
a) 1000 m (hacia el noreste). b) d = 2400 m; Δr = 0.
a) $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{600^2 + 800^2} = 1000\ \text{m}$ , del restaurante a la casa (hacia el noreste). b) La vuelta en línea recta mide lo mismo que el desplazamiento de ida, 1000 m: $d = 600 + 800 + 1000 = 2400\ \text{m}$ . Termina en el restaurante: $\Delta\vec{r} = 0$ .

Para practicar más