La ley de Coulomb

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorSustituir las cargas en µC o la distancia en cm.

  Cómo corregirloAntes de sustituir, escribe los datos en C y en m: $3\ \mu\text{C} = 3 \cdot 10^{-6}$ C; $20\ \text{cm} = 0{,}2$ m.

• ErrorOlvidar elevar la distancia al cuadrado.

  Cómo corregirloEscribe $d^2$ aparte y calcúlalo primero: $(0{,}3)^2 = 0{,}09$.

• ErrorPensar que si la distancia se duplica la fuerza se reduce a la mitad.

  Cómo corregirloLa distancia va al cuadrado: $2^2 = 4$, así que la fuerza se divide entre 4.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Fuerza entre dos cargas numérico

   Una carga $q_1 = +2\ \mu$C y otra $q_2 = -3\ \mu$C están en el aire separadas 30 cm. Calcula la fuerza entre ellas e indica si es de atracción o de repulsión.

   Resolución

   Datos en el SI: $q_1 = 2 \cdot 10^{-6}$ C; $q_2 = 3 \cdot 10^{-6}$ C (sin signo); $d = 30\ \text{cm} = 0{,}3$ m.

   $$F = K \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{d^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^{-6}}{(0{,}3)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{6 \cdot 10^{-12}}{0{,}09} = 0{,}6\ \text{N}$$

   Las cargas tienen signos distintos: la fuerza es de atracción. Cada carga atrae a la otra con 0,6 N.

2. Ejemplo 2. ¿Y si cambiamos la distancia o las cargas? razonamiento (proporcionalidad)

   Dos cargas se atraen con una fuerza de 0,8 N. ¿Cuánto valdrá la fuerza si… a) la distancia se reduce a la mitad?; b) la distancia se duplica?; c) una de las cargas se duplica?; d) las dos cargas se duplican y la distancia también?

   Resolución

   a) $d \to d/2$: $d^2 \to d^2/4$ → la fuerza se multiplica por 4: $F = 0{,}8 \cdot 4 = 3{,}2$ N.

   b) $d \to 2d$: $d^2 \to 4d^2$ → la fuerza se divide entre 4: $F = 0{,}8 : 4 = 0{,}2$ N.

   c) Una carga $\times 2$ → la fuerza $\times 2$: $F = 1{,}6$ N.

   d) Cargas: $\times 2 \times 2 = \times 4$; distancia $\times 2$ → $: 4$. Se compensan: $F = 0{,}8$ N.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Dos cargas de $+4\ \mu$C y $+5\ \mu$C están separadas 20 cm en el aire. Calcula la fuerza entre ellas. ¿Es de atracción o de repulsión?

   Ver solución

   4,5 N, de repulsión.

   $q_1 = 4 \cdot 10^{-6}$ C; $q_2 = 5 \cdot 10^{-6}$ C; $d = 0{,}2$ m. $F = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{4 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^{-6}}{(0{,}2)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{2 \cdot 10^{-11}}{0{,}04} = 4{,}5$ N. Mismo signo → repulsión.

2. 2. Fácil

   Dos cargas se repelen con una fuerza de 18 N cuando están a 10 cm. ¿Qué fuerza se ejercerán a 30 cm? ¿Y a 5 cm?

   Ver solución

   A 30 cm: 2 N. A 5 cm: 72 N.

   A 30 cm la distancia es 3 veces mayor → la fuerza se divide entre $3^2 = 9$: $18 : 9 = 2$ N. A 5 cm la distancia es la mitad → la fuerza se multiplica por 4: $18 \cdot 4 = 72$ N.

3. 3. Media

   Dos bolitas de corcho blanco cuelgan de sendos hilos. Cada una tiene una carga de $-3$ nC y sus centros están a 3 cm. Calcula la fuerza entre ellas y di qué les ocurre a los hilos.

   Ver solución

   $9 \cdot 10^{-5}$ N, de repulsión: los hilos se separan.

   $q_1 = q_2 = 3 \cdot 10^{-9}$ C; $d = 0{,}03$ m. $F = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{3 \cdot 10^{-9} \cdot 3 \cdot 10^{-9}}{(0{,}03)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{9 \cdot 10^{-18}}{9 \cdot 10^{-4}} = 9 \cdot 10^{-5}$ N. Mismo signo → repulsión: las bolitas se apartan y los hilos se separan de la vertical.

4. 4. Media

   La gráfica muestra la fuerza entre dos cargas fijas cuando se cambia la distancia entre ellas. a) Lee en la gráfica la fuerza a 0,1 m y a 0,2 m. ¿Cuántas veces menor es la segunda? b) Sin mirar la gráfica, predice la fuerza a 0,3 m y a 0,6 m, y comprueba tu predicción en la gráfica. c) ¿Por qué la gráfica no es una recta?

   Ver solución

   a) 3,6 N y 0,9 N: 4 veces menor. b) 0,4 N y 0,1 N. c) Porque F es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

   a) $F(0{,}1) = 3{,}6$ N; $F(0{,}2) = 0{,}9$ N. $3{,}6 : 0{,}9 = 4$: al duplicar la distancia, la fuerza se divide entre 4. b) A 0,3 m (triple que 0,1 m): $3{,}6 : 9 = 0{,}4$ N. A 0,6 m (6 veces 0,1 m): $3{,}6 : 36 = 0{,}1$ N. Coinciden con la gráfica. c) La fuerza no baja lo mismo por cada centímetro: depende de $1/d^2$. Baja muy deprisa cerca de las cargas y muy despacio lejos: la gráfica es una curva.

5. 5. Difícil

   Dos cargas se repelen con 0,9 N. Si duplicamos el valor de las dos cargas y triplicamos la distancia, ¿cuánto vale la nueva fuerza? ¿Sigue siendo de repulsión?

   Ver solución

   0,4 N; sí, sigue siendo de repulsión.

   Cargas: $\times 2 \times 2 = \times 4$. Distancia $\times 3$ → fuerza $: 9$. $F = 0{,}9 \cdot \dfrac{4}{9} = 0{,}4$ N. Los signos no cambian → sigue siendo de repulsión.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Calcula la fuerza entre una carga de $+6\ \mu$C y otra de $-2\ \mu$C separadas 50 cm en el aire. ¿Es de atracción o de repulsión?

   Ver solución

   0,432 N, de atracción.

   $F = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{6 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{(0{,}5)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{1{,}2 \cdot 10^{-11}}{0{,}25} = 0{,}432$ N. Signos distintos → atracción.

2. 2. Media

   Dos pequeñas esferas, una con $+5$ nC y otra con $-8$ nC, están a 2 cm. Calcula la fuerza entre ellas.

   Ver solución

   $9 \cdot 10^{-4}$ N, de atracción.

   $F = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{5 \cdot 10^{-9} \cdot 8 \cdot 10^{-9}}{(0{,}02)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{4 \cdot 10^{-17}}{4 \cdot 10^{-4}} = 9 \cdot 10^{-4}$ N, de atracción.

3. 3. Fácil

   Dos cargas se atraen con 18 N. Completa la tabla con la nueva fuerza en cada caso:

   Cambio	Nueva fuerza
   La distancia se duplica
   La distancia se reduce a la mitad
   La distancia se triplica
   Una carga se reduce a la mitad

   Ver solución

   4,5 N; 72 N; 2 N; 9 N.

   Distancia $\times 2$ → $18 : 4 = 4{,}5$ N. Distancia $: 2$ → $18 \cdot 4 = 72$ N. Distancia $\times 3$ → $18 : 9 = 2$ N. Una carga $: 2$ → $18 : 2 = 9$ N.

4. 4. Media

   Marta tiene que calcular la fuerza entre dos cargas de $3\ \mu$C y $4\ \mu$C separadas 20 cm, y escribe: $F = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{3 \cdot 4}{20^2} = 2{,}7 \cdot 10^8$ N. ¿Qué ha hecho mal? Calcula el resultado correcto.

   Ver solución

   No ha pasado las unidades al SI. F = 2,7 N.

   Ha puesto las cargas en µC y la distancia en cm. Hay que usar C y m: $F = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{3 \cdot 10^{-6} \cdot 4 \cdot 10^{-6}}{(0{,}2)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{1{,}2 \cdot 10^{-11}}{0{,}04} = 2{,}7$ N. (Su resultado era cien millones de veces mayor.)

5. 5. Difícil

   Despejar en la ley de Coulomb. Datos: $K = 9 \cdot 10^9\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$.

   a) Dos cargas de $+2\ \mu$C y $+5\ \mu$C se repelen con una fuerza de 2,25 N. ¿A qué distancia están?

   b) Dos esferas iguales, con la misma carga, están separadas 30 cm y se repelen con una fuerza de 1,6 N. ¿Cuánto vale la carga de cada esfera? Exprésala en µC.

   Ver solución

   a) $d = 0{,}2$ m = 20 cm. b) $q = 4 \cdot 10^{-6}$ C = 4 µC.

   Primero se despeja la incógnita en $F = K \cdot \dfrac{q_1 \cdot q_2}{d^2}$ y después se sustituye, con todo en unidades del SI.

   a) Despejamos $d^2$ y hacemos la raíz cuadrada: $$d^2 = \frac{K \cdot q_1 \cdot q_2}{F} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^{-6}}{2{,}25} = \frac{0{,}09}{2{,}25} = 0{,}04\ \text{m}^2 \quad\Rightarrow\quad d = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2\ \text{m} = 20\ \text{cm}$$

   b) Si las dos cargas son iguales, $q_1 \cdot q_2 = q^2$. Despejamos $q^2$ y hacemos la raíz cuadrada ($d = 0{,}3$ m): $$q^2 = \frac{F \cdot d^2}{K} = \frac{1{,}6 \cdot 0{,}09}{9 \cdot 10^9} = 1{,}6 \cdot 10^{-11}\ \text{C}^2 \quad\Rightarrow\quad q = \sqrt{1{,}6 \cdot 10^{-11}} = 4 \cdot 10^{-6}\ \text{C} = 4\ \mu\text{C}$$

   (Para la raíz con la calculadora: $1{,}6 \cdot 10^{-11} = 16 \cdot 10^{-12}$, y $\sqrt{16 \cdot 10^{-12}} = 4 \cdot 10^{-6}$.) Como se repelen, las dos cargas tienen el mismo signo, pero con este dato no sabemos si es positivo o negativo.