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Física y Química 3.º ESO · Magnitudes fundamentales y derivadas

Magnitudes fundamentales y derivadas

Objetivo: Al terminar, sabrás clasificar las magnitudes en fundamentales y derivadas y obtener la unidad de una magnitud derivada (superficie, volumen, velocidad, densidad, fuerza) a partir de las unidades fundamentales.

Explicación

Magnitudes fundamentales

Las magnitudes fundamentales son las que se definen por sí mismas, sin depender de otras. El Sistema Internacional (SI) elige siete:

Magnitud fundamental	Unidad del SI	Símbolo
Longitud	metro	m
Masa	kilogramo	kg
Tiempo	segundo	s
Temperatura	kelvin	K
Intensidad de corriente eléctrica	amperio	A
Cantidad de sustancia	mol	mol
Intensidad luminosa	candela	cd

Magnitudes derivadas

Las magnitudes derivadas se obtienen combinando magnitudes fundamentales mediante una fórmula. Su unidad sale de sustituir en la fórmula la unidad de cada magnitud:

Magnitud derivada	Fórmula	Unidad del SI
Superficie	$S = \text{largo} \cdot \text{ancho}$	$\text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^2$
Volumen	$V = \text{largo} \cdot \text{ancho} \cdot \text{alto}$	$\text{m}^3$
Velocidad	$v = \dfrac{d}{t}$	$\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = \text{m/s}$
Aceleración	$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$	$\dfrac{\text{m/s}}{\text{s}} = \text{m/s}^2$
Densidad	$d = \dfrac{m}{V}$	$\text{kg/m}^3$
Fuerza	$F = m \cdot a$	$\text{kg} \cdot \text{m/s}^2$ , que se llama newton (N)
Presión	$p = \dfrac{F}{S}$	$\text{N/m}^2$ , que se llama pascal (Pa)

Cómo sacar la unidad de una magnitud derivada

Escribe la fórmula de la magnitud.
Sustituye cada magnitud por su unidad del SI.
Opera con las unidades como si fueran letras: $\text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^2$ ; $\dfrac{\text{m}}{\text{s}} : \text{s} = \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ .

Algunas unidades derivadas tienen nombre propio, normalmente en honor a un científico: el newton (N), el pascal (Pa), el julio (J), el vatio (W).

Puntos clave

Magnitudes fundamentales: se definen por sí mismas. En el SI son siete (longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente, cantidad de sustancia e intensidad luminosa).
Magnitudes derivadas: se obtienen de las fundamentales mediante una fórmula.
La unidad de una derivada se obtiene sustituyendo en su fórmula las unidades de las fundamentales.
Ejemplos: superficie (m²), volumen (m³), velocidad (m/s), densidad (kg/m³), fuerza (N = kg·m/s²).

Errores frecuentes

ErrorPensar que la velocidad o el volumen son magnitudes fundamentales porque se usan mucho.
Cómo corregirloMira si tienen fórmula: $v = d/t$ y $V = l \cdot a \cdot h$ se calculan a partir de otras magnitudes, así que son derivadas.
ErrorEscribir la unidad de la densidad como kg·m³.
Cómo corregirloLa densidad es masa dividida entre volumen: kg/m³ (kilogramos por metro cúbico).
ErrorOlvidar el exponente al multiplicar unidades (m · m = m).
Cómo corregirloOpera las unidades como letras: m · m = m²; m · m · m = m³.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El salpicadero de un coche situación real (clasificar)
En el salpicadero de un coche aparecen estos datos: velocidad (90 km/h), temperatura exterior (12 °C), hora (10:35), distancia recorrida (125 km), consumo medio (5,4 L/100 km). Clasifica cada magnitud en fundamental o derivada.

Resolución
- Velocidad: derivada ( $v = d/t$ , longitud entre tiempo).
- Temperatura: fundamental.
- Hora (tiempo): fundamental.
- Distancia recorrida (longitud): fundamental.
- Consumo medio: derivada: es un volumen (litros) dividido entre una distancia (100 km). Y el volumen, a su vez, es derivado de la longitud.
Fíjate en que las unidades de las derivadas llevan una barra (/) o un exponente: km/h, L/100 km.
Ejemplo 2. ¿Cuánto pesa… y cuánto ocupa? La densidad de la madera numérico (unidad de una derivada)
Un cubo de madera tiene 10 cm de arista y una masa de 0,6 kg. a) ¿Cuál es la unidad del SI de la densidad? Dedúcela de su fórmula. b) Calcula la densidad de la madera en unidades del SI.

Resolución
a) $d = \dfrac{m}{V}$ . La masa se mide en kg y el volumen en m³, así que la densidad se mide en $\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} = \text{kg/m}^3$ .

b) Pasamos la arista a metros: $10\ \text{cm} = 0{,}1\ \text{m}$ . $V = 0{,}1\ \text{m} \cdot 0{,}1\ \text{m} \cdot 0{,}1\ \text{m} = 0{,}001\ \text{m}^3$ $d = \frac{m}{V} = \frac{0{,}6\ \text{kg}}{0{,}001\ \text{m}^3} = 600\ \text{kg/m}^3$ Cada metro cúbico de esa madera tendría una masa de 600 kg.
Ejemplo 3. De la velocidad a la aceleración y al newton deducir unidades
Deduce la unidad del SI de: a) la aceleración, $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ ; b) la fuerza, $F = m \cdot a$ ; c) el caudal de un grifo, $Q = \dfrac{V}{t}$ (volumen que sale por unidad de tiempo).

Resolución
a) $[a] = \dfrac{\text{m/s}}{\text{s}} = \dfrac{\text{m}}{\text{s} \cdot \text{s}} = \text{m/s}^2$ .

b) $[F] = \text{kg} \cdot \text{m/s}^2 = \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$ . Esta unidad se llama newton (N): $1\ \text{N} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$ .

c) $[Q] = \dfrac{\text{m}^3}{\text{s}} = \text{m}^3\text{/s}$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Clasifica estas magnitudes en fundamentales o derivadas: masa, velocidad, tiempo, superficie, temperatura, densidad, longitud, volumen, fuerza, intensidad de corriente.

Ver solución
Fundamentales: masa, tiempo, temperatura, longitud, intensidad de corriente. Derivadas: velocidad, superficie, densidad, volumen, fuerza.
Fundamentales (están entre las siete del SI): masa, tiempo, temperatura, longitud, intensidad de corriente. Derivadas (tienen fórmula): velocidad ( $d/t$ ), superficie ( $l \cdot a$ ), densidad ( $m/V$ ), volumen ( $l \cdot a \cdot h$ ), fuerza ( $m \cdot a$ ).
2. Fácil
Deduce la unidad del SI de cada magnitud a partir de su fórmula: a) superficie de un rectángulo, $S = b \cdot h$ ; b) volumen de un cubo, $V = l^3$ ; c) velocidad, $v = d/t$ ; d) densidad, $d = m/V$ .

Ver solución
a) m². b) m³. c) m/s. d) kg/m³.
a) $\text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^2$ . b) $\text{m} \cdot \text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^3$ . c) $\text{m}/\text{s}$ . d) $\text{kg}/\text{m}^3$ .
3. Fácil
Un aula mide 8 m de largo, 7 m de ancho y 3 m de alto. a) Calcula la superficie del suelo. b) Calcula el volumen de aire del aula. c) ¿Qué magnitudes fundamentales has usado? ¿Cuáles has obtenido?

Ver solución
a) 56 m². b) 168 m³. c) Has usado longitudes (fundamental) y has obtenido superficie y volumen (derivadas).
a) $S = 8\ \text{m} \cdot 7\ \text{m} = 56\ \text{m}^2$ . b) $V = 8\ \text{m} \cdot 7\ \text{m} \cdot 3\ \text{m} = 168\ \text{m}^3$ . c) Solo hemos medido longitudes (fundamental); la superficie y el volumen son derivadas que se calculan a partir de ellas.
4. Media
Un bloque de plástico tiene una masa de 2 kg y ocupa un volumen de 0,0025 m³. Calcula su densidad en unidades del SI.

Ver solución
800 kg/m³
$d = \dfrac{m}{V} = \dfrac{2\ \text{kg}}{0{,}0025\ \text{m}^3} = 800\ \text{kg/m}^3$ .
5. Media
Una corredora del Retiro recorre 100 m en 12,5 s. a) Calcula su rapidez media. b) ¿Qué magnitudes fundamentales intervienen y cuál es la derivada?

Ver solución
a) 8 m/s. b) Fundamentales: longitud y tiempo. Derivada: velocidad.
a) $v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{100\ \text{m}}{12{,}5\ \text{s}} = 8\ \text{m/s}$ . b) Longitud (m) y tiempo (s) son fundamentales; la velocidad (m/s) es derivada.
6. Difícil
La presión es la fuerza dividida entre la superficie sobre la que actúa: $p = \dfrac{F}{S}$ . Sabiendo que $1\ \text{N} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$ , expresa la unidad de la presión, el pascal (Pa), solo con unidades fundamentales.

Ver solución
1 Pa = 1 kg/(m · s²)
$[p] = \dfrac{\text{N}}{\text{m}^2} = \dfrac{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2}{\text{m}^2} = \dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}^2 \cdot \text{m}^2} = \dfrac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}$ . Así que $1\ \text{Pa} = 1\ \dfrac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}$ .

Para practicar más

1. Fácil
Escribe las siete magnitudes fundamentales del SI con su unidad y su símbolo.

Ver solución
Longitud (metro, m), masa (kilogramo, kg), tiempo (segundo, s), temperatura (kelvin, K), intensidad de corriente (amperio, A), cantidad de sustancia (mol, mol), intensidad luminosa (candela, cd).
Ver la tabla de la explicación: m, kg, s, K, A, mol, cd.
2. Fácil
Una caja de zapatos mide 30 cm × 20 cm × 12 cm. Calcula su volumen en cm³ y di si es una magnitud fundamental o derivada.

Ver solución
7200 cm³; derivada.
$V = 30\ \text{cm} \cdot 20\ \text{cm} \cdot 12\ \text{cm} = 7200\ \text{cm}^3$ . El volumen es una magnitud derivada (se calcula a partir de tres longitudes).
3. Media
Una pieza de aluminio tiene una masa de 54 g y un volumen de 20 cm³. a) Calcula su densidad en g/cm³. b) Explica por qué g/cm³ es una unidad de densidad aunque no sea la del SI.

Ver solución
a) 2,7 g/cm³. b) Porque es una masa dividida entre un volumen, igual que kg/m³.
a) $d = \dfrac{m}{V} = \dfrac{54\ \text{g}}{20\ \text{cm}^3} = 2{,}7\ \text{g/cm}^3$ . b) Sigue siendo una unidad de masa entre una unidad de volumen. Solo cambia el tamaño de las unidades (g en lugar de kg, cm³ en lugar de m³). Más adelante aprenderás a pasarla a kg/m³ con factores de conversión.
4. Media
Una fuente del parque llena un cubo de 10 L en 20 s. a) Calcula el caudal en L/s. b) ¿Es el caudal una magnitud fundamental o derivada? ¿De qué magnitudes depende?

Ver solución
a) 0,5 L/s. b) Derivada: volumen entre tiempo.
a) $Q = \dfrac{V}{t} = \dfrac{10\ \text{L}}{20\ \text{s}} = 0{,}5\ \text{L/s}$ . b) Derivada: se obtiene dividiendo un volumen (que a su vez depende de la longitud) entre un tiempo.
5. Difícil
La energía cinética de un cuerpo se calcula con la fórmula $E_c = \tfrac{1}{2}\, m \cdot v^2$ . Deduce su unidad del SI usando solo unidades fundamentales. (Esa unidad se llama julio, J.)

Ver solución
1 J = 1 kg · m²/s²
El $\tfrac{1}{2}$ es solo un número y no tiene unidad. $[E_c] = \text{kg} \cdot \left(\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 = \text{kg} \cdot \dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$ . Así que $1\ \text{J} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$ .