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Física y Química 3.º ESO · Las máquinas simples: palanca, polea y plano inclinado

Poleas y plano inclinado

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la fuerza necesaria para subir una carga con una polea fija, una polea móvil, un polipasto o un plano inclinado, y explicar qué se gana y qué se pierde con cada máquina.

Explicación

Poleas

Una polea es una rueda con un canal (garganta) por el que pasa una cuerda. Llamamos $R$ a la resistencia (el peso de la carga) y $F$ a la fuerza que hacemos tirando de la cuerda.

Polea fija

Está sujeta al techo o a una viga y no sube ni baja. $F = R$ No ahorra fuerza, pero permite cambiar la dirección de la fuerza: es más cómodo tirar hacia abajo (ayudándote de tu propio peso) que levantar la carga. Ejemplos: el mástil de una bandera, un pozo.

Polea móvil

La carga cuelga de la polea, que sube con ella. Un extremo de la cuerda está atado a un soporte fijo y tiramos del otro. La carga queda sujeta por dos tramos de cuerda, y cada uno soporta la mitad: $F = \frac{R}{2}$ A cambio, para subir la carga 1 m hay que tirar de 2 m de cuerda.

Polipasto (o aparejo)

Combina poleas fijas y móviles. La regla general es contar los tramos de cuerda $N$ que sujetan las poleas móviles (y con ellas la carga): $F = \frac{R}{N}$ En un polipasto con $n$ poleas móviles hay $N = 2n$ tramos: $F = \dfrac{R}{2n}$ . Para subir la carga una altura $h$ , hay que tirar de $N \cdot h$ metros de cuerda. Así funcionan las grúas de las obras.

Plano inclinado

Una rampa permite subir una carga de peso $R$ hasta una altura $h$ empujándola a lo largo de una longitud $L$ , haciendo menos fuerza que si la levantáramos en vertical. Sin rozamiento: $F \cdot L = R \cdot h \qquad\Rightarrow\qquad F = \frac{R \cdot h}{L}$ Cuanto más larga (menos inclinada) es la rampa, menos fuerza hay que hacer, pero más distancia hay que recorrer. Ejemplos: rampas de accesibilidad, rampas de los camiones de mudanzas, carreteras de montaña en zigzag.

La «regla de oro» de las máquinas

Ninguna máquina simple ahorra esfuerzo total: lo que se gana en fuerza se pierde en recorrido. Si hacemos la mitad de fuerza, hay que desplazarla el doble de distancia ( $F \cdot \text{distancia} = R \cdot \text{altura}$ ).

En las máquinas reales hay rozamiento, así que la fuerza necesaria es algo mayor que la que calculamos.

Puntos clave

Polea fija: $F = R$ ; solo cambia la dirección de la fuerza.
Polea móvil: $F = R/2$ ; hay que tirar del doble de cuerda.
Polipasto: $F = R/N$ , con $N$ = tramos de cuerda que sujetan las poleas móviles ( $N = 2n$ con $n$ poleas móviles).
Plano inclinado sin rozamiento: $F \cdot L = R \cdot h$ , es decir, $F = R \cdot h / L$ .
Lo que se gana en fuerza se pierde en recorrido.

Errores frecuentes

ErrorPensar que la polea fija reduce la fuerza a la mitad.
Cómo corregirloLa polea fija solo cambia la dirección: $F = R$ . La que divide la fuerza entre 2 es la polea móvil.
ErrorContar todas las poleas del polipasto en vez de los tramos de cuerda.
Cómo corregirloCuenta los tramos de cuerda que sujetan el bloque de poleas móviles (donde cuelga la carga). Ese número es el que divide a $R$ .
ErrorEn el plano inclinado, confundir la longitud de la rampa con su altura o con la distancia horizontal.
Cómo corregirlo $L$ es la longitud de la rampa (lo que recorre la carga) y $h$ es la altura que sube. Siempre $h < L$ , así que $F < R$ .
ErrorCreer que con una máquina se ahorra trabajo o energía.
Cómo corregirloSe ahorra fuerza, pero hay que desplazarla más distancia. El producto fuerza · distancia es el mismo (o mayor, si hay rozamiento).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Subir mortero a un andamio situación real (polea fija y móvil)
Un albañil tiene que subir un cubo de mortero que pesa 300 N hasta un andamio situado a 6 m de altura. a) ¿Qué fuerza debe hacer si usa una polea fija? ¿Cuántos metros de cuerda tiene que recoger? b) ¿Y si usa una polea móvil? c) ¿Qué ventaja tiene cada una?

Resolución
a) Polea fija: $F = R = 300$ N. Para subir el cubo 6 m tiene que recoger 6 m de cuerda.

b) Polea móvil: $F = \dfrac{R}{2} = \dfrac{300}{2} = 150$ N. Pero tiene que recoger el doble de cuerda: $2 \cdot 6 =$ 12 m.

c) La fija le permite tirar hacia abajo, que es más cómodo; la móvil le permite hacer la mitad de fuerza, a cambio de tirar del doble de cuerda. (Si combina las dos, hace 150 N tirando hacia abajo.)

Comprobación de la regla de oro: $300 \cdot 6 = 150 \cdot 12 = 1800$ .
Ejemplo 2. La rampa del camión de mudanzas numérico (plano inclinado)
Unos operarios de mudanzas suben una lavadora que pesa 1200 N a un camión cuya plataforma está a 1,2 m del suelo. Usan una rampa de 4 m de longitud. Sin tener en cuenta el rozamiento, ¿qué fuerza deben hacer para subirla empujándola por la rampa? Compárala con la que harían levantándola en vertical.

Resolución
Datos: $R = 1200$ N; $h = 1{,}2$ m; $L = 4$ m. $F = \frac{R \cdot h}{L} = \frac{1200 \cdot 1{,}2}{4} = 360\ \text{N}$ Levantándola en vertical harían 1200 N; con la rampa, 360 N, menos de la tercera parte. A cambio, la lavadora recorre 4 m en lugar de 1,2 m.
Ejemplo 3. ¿Cuánto debe medir la rampa? gráfico (fuerza frente a longitud)
La gráfica muestra la fuerza necesaria para subir una carga de 1200 N hasta una altura de 1 m con rampas de distintas longitudes (sin rozamiento). a) ¿Qué fuerza hace falta con una rampa de 2 m? ¿Y de 4 m? b) ¿Qué longitud mínima debe tener la rampa si solo podemos hacer 300 N? c) ¿Qué pasa con la fuerza si la longitud se duplica?

Resolución
Con $h = 1$ m: $F = \dfrac{1200 \cdot 1}{L} = \dfrac{1200}{L}$ .

a) $L = 2$ m → $F = 600$ N. $L = 4$ m → $F = 300$ N (se lee en la gráfica).

b) $300 = \dfrac{1200}{L} \;\Rightarrow\; L = 4$ m. Con una rampa de 4 m o más larga.

c) Se reduce a la mitad: de 2 m a 4 m pasa de 600 N a 300 N; de 3 m a 6 m, de 400 N a 200 N. La fuerza es inversamente proporcional a la longitud de la rampa.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Queremos subir un saco que pesa 500 N. ¿Qué fuerza hay que hacer: a) con una polea fija; b) con una polea móvil; c) con un polipasto con dos poleas móviles (4 tramos de cuerda sujetan la carga)? (Máquinas ideales.)

Ver solución
a) 500 N. b) 250 N. c) 125 N.
a) $F = R = 500$ N. b) $F = R/2 = 250$ N. c) $F = R/N = 500/4 = 125$ N.
2. Fácil
La grúa de una obra levanta un palé de ladrillos de 1800 N con un polipasto de 3 poleas móviles. ¿Qué fuerza debe hacer el motor sobre el cable? (Polipasto ideal.)

Ver solución
300 N
Con 3 poleas móviles hay $N = 2 \cdot 3 = 6$ tramos de cable sujetando la carga: $F = \frac{R}{N} = \frac{1800}{6} = 300\ \text{N}$
3. Media
Para subir una caja de 400 N a una altura de 1 m se usa una rampa de 2,5 m de longitud. ¿Qué fuerza hay que hacer, sin rozamiento?

Ver solución
160 N
$F = \dfrac{R \cdot h}{L} = \dfrac{400 \cdot 1}{2{,}5} = 160\ \text{N}$ .
4. Media
Una carga de 800 N se sube con una polea móvil hasta 2 m de altura y otra igual se sube con un polipasto de 4 tramos de cuerda hasta 3 m de altura (máquinas ideales). a) Calcula la fuerza y los metros de cuerda de los que hay que tirar en cada caso. b) Comprueba en los dos casos que fuerza · cuerda recogida = carga · altura. ¿Qué significa?

Ver solución
a) Polea móvil: 400 N y 4 m. Polipasto: 200 N y 12 m. b) 400 · 4 = 800 · 2 = 1600; 200 · 12 = 800 · 3 = 2400: lo que se gana en fuerza se pierde en recorrido.
a) Polea móvil: $F = 800/2 = 400$ N; cuerda: $2 \cdot 2 = 4$ m. Polipasto: $F = 800/4 = 200$ N; cuerda: $4 \cdot 3 = 12$ m.

b) Polea móvil: $400 \cdot 4 = 1600$ y $800 \cdot 2 = 1600$ . Polipasto: $200 \cdot 12 = 2400$ y $800 \cdot 3 = 2400$ . Coinciden: lo que se gana en fuerza se pierde en recorrido. La máquina no ahorra «esfuerzo total», solo lo reparte de forma más cómoda.
5. Difícil
Hay que subir una moto de 1500 N a la plataforma de un remolque situada a 0,9 m del suelo, empujándola por una rampa. Entre dos personas pueden hacer como máximo 300 N. ¿Qué longitud mínima debe tener la rampa? (Sin rozamiento.) En la realidad, ¿la rampa debería ser más larga o más corta? ¿Por qué?

Ver solución
4,5 m como mínimo; más larga, porque el rozamiento obliga a hacer más fuerza.
Despejamos $L$ de $F \cdot L = R \cdot h$ : $L = \frac{R \cdot h}{F} = \frac{1500 \cdot 0{,}9}{300} = 4{,}5\ \text{m}$ La rampa debe medir al menos 4,5 m. En la realidad hay rozamiento, que obliga a hacer algo más de fuerza; para seguir haciendo solo 300 N, la rampa tendría que ser algo más larga.

Para practicar más

1. Fácil
¿Qué fuerza hay que hacer para levantar una carga de 800 N con una polea fija? ¿Y con una polea móvil? (Poleas ideales.)

Ver solución
800 N; 400 N.
Polea fija: $F = R = 800$ N. Polea móvil: $F = R/2 = 400$ N.
2. Fácil
Calcula la fuerza necesaria para subir un carro de 1000 N por una rampa de 5 m de longitud que salva una altura de 1 m (sin rozamiento).

Ver solución
200 N
$F = \dfrac{R \cdot h}{L} = \dfrac{1000 \cdot 1}{5} = 200\ \text{N}$ .
3. Media
En un taller usan un polipasto en el que 4 tramos de cadena sujetan la carga. Si el mecánico tira con una fuerza de 150 N, ¿qué peso máximo puede levantar? ¿Qué masa tiene esa carga? ( $g = 9{,}8$ N/kg; polipasto ideal)

Ver solución
600 N; unos 61 kg.
$F = R/N \;\Rightarrow\; R = F \cdot N = 150 \cdot 4 = 600$ N. $m = \dfrac{P}{g} = \dfrac{600}{9{,}8} \approx 61{,}2\ \text{kg}$ .
4. Media
Para subir una carga de 900 N a una altura de 1,5 m podemos usar una rampa de 3 m o una de 6 m (sin rozamiento). a) Calcula la fuerza necesaria con cada una. b) ¿Con cuál se hace menos fuerza? ¿Con cuál se recorre más distancia? c) Comprueba que fuerza · longitud de la rampa es igual en los dos casos.

Ver solución
a) 450 N y 225 N. b) Menos fuerza con la de 6 m, pero se recorre el doble. c) 450 · 3 = 225 · 6 = 1350 = 900 · 1,5.
a) Rampa de 3 m: $F = \dfrac{900 \cdot 1{,}5}{3} = 450$ N. Rampa de 6 m: $F = \dfrac{900 \cdot 1{,}5}{6} = 225$ N. b) Con la rampa de 6 m se hace la mitad de fuerza, pero se recorre el doble de distancia. c) $450 \cdot 3 = 1350$ ; $225 \cdot 6 = 1350$ ; y $R \cdot h = 900 \cdot 1{,}5 = 1350$ . Se cumple la regla de oro.
5. Difícil
Hay que subir un barril de 1000 N a la caja de un camión, a 1,2 m de altura. Hay dos opciones (máquinas ideales): una polea móvil colgada de una grúa pequeña, o una rampa de 4 m. a) Calcula la fuerza necesaria en cada caso. b) ¿Cuántos metros de cuerda hay que recoger con la polea? ¿Cuántos metros se empuja el barril por la rampa? c) ¿Qué opción elegirías si la persona que lo sube solo puede hacer 400 N? Razónalo.

Ver solución
a) Polea móvil: 500 N; rampa: 300 N. b) 2,4 m de cuerda; 4 m de rampa. c) La rampa: es la única que exige menos de 400 N.
a) Polea móvil: $F = 1000/2 = 500$ N. Rampa: $F = \dfrac{1000 \cdot 1{,}2}{4} = 300$ N.

b) Polea móvil: $2 \cdot 1{,}2 = 2{,}4$ m de cuerda. Rampa: el barril recorre 4 m.

c) La rampa, porque necesita 300 N, menos de los 400 N que puede hacer; con la polea móvil haría falta 500 N. Fíjate en que con la rampa se hace menos fuerza pero a lo largo de más distancia: $500 \cdot 2{,}4 = 300 \cdot 4 = 1200 = 1000 \cdot 1{,}2$ . (En la realidad, el rozamiento haría que la fuerza en la rampa fuera algo mayor de 300 N.)