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Física y Química 3.º ESO · Composición de fuerzas: la fuerza resultante

La resultante de fuerzas perpendiculares y oblicuas

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la resultante de dos fuerzas perpendiculares con el teorema de Pitágoras, hallar gráficamente la resultante de dos fuerzas que forman cualquier ángulo (regla del paralelogramo) y obtener la resultante de varias fuerzas sumando sus componentes.

Explicación

¿Qué pasa si las fuerzas no tienen la misma dirección?

Si dos fuerzas no están en la misma recta, la resultante no es la suma ni la resta de sus módulos: hay que sumarlas como vectores.

Regla del paralelogramo

Para sumar dos fuerzas $\vec{F}_1$ y $\vec{F}_2$ aplicadas en el mismo punto:

Dibújalas a escala desde el mismo punto.
Por el extremo de cada una, traza una paralela a la otra. Se forma un paralelogramo.
La diagonal que sale del punto de aplicación es la resultante $\vec{R}$ .
Mide su longitud con la regla y pásala a newtons con la escala; mide su dirección con el transportador.

Fuerzas perpendiculares

Si las fuerzas forman 90°, el paralelogramo es un rectángulo y la resultante es su diagonal. Por el teorema de Pitágoras: $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$ Ejemplo: 3 N hacia el este y 4 N hacia el norte → $R = \sqrt{9 + 16} = 5$ N, entre el este y el norte.

Cómo influye el ángulo

Con las mismas dos fuerzas, la resultante es mayor cuanto menor es el ángulo entre ellas:

a 0° (mismo sentido): $R = F_1 + F_2$ (el valor máximo);
a 180° (sentidos opuestos): $R = F_1 - F_2$ (el valor mínimo);
con cualquier otro ángulo, $R$ está entre esos dos valores.

Componentes de una fuerza

Cualquier fuerza inclinada se puede sustituir por dos fuerzas perpendiculares que producen el mismo efecto: sus componentes, $F_x$ (horizontal) y $F_y$ (vertical). Si la fuerza está dibujada en una cuadrícula, sus componentes se leen contando cuadros. Llevan signo: $F_x$ es positiva hacia la derecha y negativa hacia la izquierda; $F_y$ , positiva hacia arriba y negativa hacia abajo.

Resultante de varias fuerzas por componentes:

Escribe las componentes $F_x$ y $F_y$ de cada fuerza, con su signo.
Suma todas las componentes $x$ : $R_x = F_{1x} + F_{2x} + \dots$
Suma todas las componentes $y$ : $R_y = F_{1y} + F_{2y} + \dots$
Calcula el módulo con Pitágoras: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ .

Puntos clave

Fuerzas de distinta dirección se suman como vectores, con la regla del paralelogramo.
Perpendiculares: $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$ .
Para dos fuerzas dadas, $F_1 - F_2 \le R \le F_1 + F_2$ : cuanto menor es el ángulo, mayor es la resultante.
Una fuerza inclinada equivale a sus dos componentes perpendiculares, $F_x$ y $F_y$ , con signo.
Resultante de varias fuerzas: $R_x = \sum F_x$ , $R_y = \sum F_y$ y $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ .

Errores frecuentes

ErrorSumar los módulos de dos fuerzas perpendiculares: 6 N + 8 N = 14 N.
Cómo corregirloSolo se suman los módulos si tienen la misma dirección y sentido. Perpendiculares: $R = \sqrt{36 + 64} = 10$ N.
ErrorHacer Pitágoras con fuerzas que no son perpendiculares.
Cómo corregirloPitágoras solo vale si forman 90°. Para otros ángulos, usa el paralelogramo a escala o descompón en componentes.
ErrorOlvidar el signo de las componentes que van hacia la izquierda o hacia abajo.
Cómo corregirloAntes de sumar, escribe cada componente con su signo: 10 N hacia la izquierda es $F_x = -10$ N.
ErrorDar solo el módulo de la resultante.
Cómo corregirloIndica también su dirección: por ejemplo, «entre el este y el norte, a unos 53° del este» (medido con el transportador en el dibujo).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos amigos tiran de un trineo numérico (fuerzas perpendiculares)
En la nieve de Navacerrada, Pablo tira de un trineo con una cuerda con 60 N hacia el este y Lucía, con otra cuerda, tira con 80 N hacia el norte. Calcula la fuerza resultante y describe su dirección.

Resolución
Las fuerzas son perpendiculares: el paralelogramo es un rectángulo de lados 60 y 80 (a escala) y la resultante es su diagonal. $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10\,000} = 100\ \text{N}$

Dirección: entre el este y el norte, más cerca del norte (porque la fuerza hacia el norte es mayor). Si lo dibujamos a escala y medimos con el transportador, forma unos 53° con la dirección este.

Fíjate: $R = 100$ N, menos que $60 + 80 = 140$ N, porque las fuerzas no tiran en la misma dirección.
Ejemplo 2. El paralelogramo con regla y transportador gráfico
Dos fuerzas de 40 N y 30 N están aplicadas en el mismo punto y forman un ángulo de 60°. Halla la resultante gráficamente con la escala $1\ \text{cm} \leftrightarrow 10\ \text{N}$ . ¿Qué ocurriría si el ángulo fuera 0°, 90°, 120° o 180°?

Resolución
1. Dibujamos $\vec{F}_1$ horizontal de 4 cm y, desde el mismo punto, $\vec{F}_2$ de 3 cm formando 60° (con el transportador).
2. Por el extremo de $\vec{F}_1$ trazamos una paralela a $\vec{F}_2$ , y por el extremo de $\vec{F}_2$ , una paralela a $\vec{F}_1$ .
3. Trazamos la diagonal desde el punto de aplicación y la medimos: unos 6,1 cm → $R \approx 61$ N, a unos 25° de $\vec{F}_1$ .
Si repetimos el dibujo con otros ángulos:

Ángulo 0° 60° 90° 120° 180°

R (N) 70 ≈ 61 50 ≈ 36 10

Cuanto mayor es el ángulo, menor es la resultante. Siempre está entre $40 - 30 = 10$ N y $40 + 30 = 70$ N. (El valor de 90° se comprueba con Pitágoras: $\sqrt{1600 + 900} = 50$ N.)
Ejemplo 3. Tres fuerzas en una cuadrícula gráfico (por componentes)
Tres cuerdas tiran de una argolla, situada en el origen, con las fuerzas $\vec{F}_1$ , $\vec{F}_2$ y $\vec{F}_3$ de la figura (cada fuerza va desde el origen hasta el extremo de su segmento). Calcula la fuerza resultante.

Resolución
1. Componentes (leídas en la cuadrícula, con signo):
Fuerza $F_x$ (N) $F_y$ (N)

$\vec{F}_1$ 40 20

$\vec{F}_2$ −10 50

$\vec{F}_3$ 30 10

Suma $R_x = 60$ $R_y = 80$
1. Módulo de la resultante: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{60^2 + 80^2} = 100\ \text{N}$
2. La resultante va desde el origen hasta el punto (60, 80): hacia la derecha y hacia arriba.
Fíjate en que la suma de los módulos ( $\approx 44{,}7 + 51{,}0 + 31{,}6 \approx 127$ N) no es la resultante: hay que sumar componente a componente.

Ángulo	0°	60°	90°	120°	180°
R (N)	70	≈ 61	50	≈ 36	10

Fuerza	$F_x$ (N)	$F_y$ (N)
$\vec{F}_1$	40	20
$\vec{F}_2$	−10	50
$\vec{F}_3$	30	10
Suma	$R_x = 60$	$R_y = 80$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas perpendiculares: 9 N hacia el este y 12 N hacia el norte. Calcula el módulo de la resultante y dibuja el paralelogramo con la escala $1\ \text{cm} \leftrightarrow 3\ \text{N}$ .

Ver solución
15 N, entre el este y el norte.
$R = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ N. Dibujo: rectángulo de 3 cm (este) por 4 cm (norte); la diagonal mide 5 cm → $5 \cdot 3 = 15$ N, a unos 53° del este.
2. Fácil
El motor de un barco lo empuja con 4000 N hacia el norte y el viento lo empuja con 3000 N hacia el este. ¿Cuál es la fuerza resultante? ¿Irá el barco exactamente hacia el norte?

Ver solución
5000 N; no: se desvía hacia el este (a unos 37° del norte).
Las fuerzas son perpendiculares: $R = \sqrt{4000^2 + 3000^2} = \sqrt{25\,000\,000} = 5000$ N. No va hacia el norte: la resultante está entre el norte y el este, más cerca del norte (a unos 37° del norte, medido en el dibujo). El timonel tiene que corregir el rumbo.
3. Media
Dos fuerzas de 50 N cada una están aplicadas en el mismo punto. Con la escala $1\ \text{cm} \leftrightarrow 10\ \text{N}$ , halla gráficamente la resultante si forman: a) 120°; b) 60°. ¿En qué caso es mayor? ¿Por qué?

Ver solución
a) 50 N. b) Unos 87 N. Es mayor a 60°: cuanto menor es el ángulo, mayor es la resultante.
Se dibujan dos flechas de 5 cm desde el mismo punto con el ángulo indicado, se completa el paralelogramo (aquí, un rombo) y se mide la diagonal: a) A 120°, la diagonal mide 5 cm → 50 N. b) A 60°, la diagonal mide unos 8,7 cm → ≈ 87 N. Es mayor a 60° porque las fuerzas «tiran más en la misma dirección».
4. Media
La resultante de dos fuerzas perpendiculares es de 13 N. Si una de ellas vale 5 N, ¿cuánto vale la otra?

Ver solución
12 N
$R^2 = F_1^2 + F_2^2 \Rightarrow F_2 = \sqrt{R^2 - F_1^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ N.
5. Media
Sobre un punto actúan las tres fuerzas de la figura (en N). a) Escribe las componentes de cada una. b) Calcula las componentes de la resultante y su módulo. c) Dibuja la resultante en los ejes de abajo.

Ver solución
a) F₁ = (5, 0); F₂ = (0, 6); F₃ = (−2, −2). b) R = (3, 4); R = 5 N. c) Flecha desde el origen hasta el punto (3, 4).
a) $\vec{F}_1$ : $F_x = 5$ , $F_y = 0$ . $\vec{F}_2$ : $F_x = 0$ , $F_y = 6$ . $\vec{F}_3$ : $F_x = -2$ , $F_y = -2$ . b) $R_x = 5 + 0 - 2 = 3$ N; $R_y = 0 + 6 - 2 = 4$ N; $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ N. c) Flecha desde (0, 0) hasta (3, 4).
6. Difícil
Dos fuerzas de 6 N y 8 N actúan sobre un cuerpo. a) ¿Cuáles de estos valores puede tener la resultante: 1 N, 2 N, 10 N, 14 N, 15 N? b) ¿Qué ángulo deben formar para que la resultante sea de 10 N?

Ver solución
a) 2 N, 10 N y 14 N (1 N y 15 N no). b) 90°.
a) La resultante está entre $8 - 6 = 2$ N (sentidos opuestos) y $8 + 6 = 14$ N (mismo sentido). Son posibles 2 N, 10 N y 14 N; 1 N y 15 N, no. b) $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ N: deben ser perpendiculares (90°).

Para practicar más

1. Fácil
Calcula la resultante de dos fuerzas perpendiculares de 20 N y 21 N.

Ver solución
29 N
$R = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ N.
2. Media
Dos perros atados a la misma correa tiran de su dueña: uno con 120 N hacia el este y otro con 50 N hacia el norte. a) Calcula la fuerza resultante que ejercen los perros. b) ¿Qué fuerza tiene que hacer la dueña para no moverse? Indica su módulo y su dirección.

Ver solución
a) 130 N, entre el este y el norte (más cerca del este). b) 130 N en la misma dirección y sentido contrario (hacia el oeste y el sur).
a) Perpendiculares: $R = \sqrt{120^2 + 50^2} = \sqrt{14\,400 + 2500} = \sqrt{16\,900} = 130$ N. b) La equilibrante: 130 N, misma dirección que $\vec{R}$ y sentido contrario (entre el oeste y el sur). En componentes: 120 N hacia el oeste y 50 N hacia el sur.
3. Media
Tres cuerdas tiran de una caja. Sus componentes son:
- $\vec{F}_1$ : 30 N hacia el este.
- $\vec{F}_2$ : 15 N hacia el oeste y 10 N hacia el norte.
- $\vec{F}_3$ : 10 N hacia el norte.
Tomando el este y el norte como positivos, calcula las componentes de la resultante y su módulo.
Ver solución
R_x = 15 N; R_y = 20 N; R = 25 N.
$R_x = 30 - 15 + 0 = 15$ N; $R_y = 0 + 10 + 10 = 20$ N. $R = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25$ N.
4. Media
Dos fuerzas de 30 N y 20 N forman un ángulo de 45°. Halla gráficamente la resultante con la escala $1\ \text{cm} \leftrightarrow 5\ \text{N}$ . Comprueba que tu resultado está entre los valores mínimo y máximo posibles.

Ver solución
Unos 46 N (entre 10 N y 50 N).
Flechas de 6 cm y 4 cm desde el mismo punto, a 45°. Se completa el paralelogramo y se mide la diagonal: unos 9,3 cm → $9{,}3 \cdot 5 \approx 46$ N, a unos 18° de la fuerza de 30 N. Está entre $30 - 20 = 10$ N y $30 + 20 = 50$ N. (Se aceptan resultados entre 45 y 47 N.)
5. Difícil
Sobre una argolla actúan dos fuerzas: 6 N hacia el este y 8 N hacia el norte. ¿Qué tercera fuerza hay que aplicar para que la argolla quede en equilibrio? Da su módulo y sus componentes.

Ver solución
10 N, con componentes 6 N hacia el oeste y 8 N hacia el sur.
Resultante de las dos: $R_x = 6$ N, $R_y = 8$ N; $R = \sqrt{36 + 64} = 10$ N. La tercera fuerza debe anularla: $F_{3x} = -6$ N (6 N hacia el oeste) y $F_{3y} = -8$ N (8 N hacia el sur). Su módulo es 10 N, en la misma dirección que $\vec{R}$ y sentido contrario.