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Física y Química 3.º ESO · Gráficas posición-tiempo y velocidad-tiempo

De la gráfica x-t a la gráfica v-t. El desplazamiento como área

Objetivo: Al terminar, sabrás construir la gráfica velocidad-tiempo a partir de una gráfica posición-tiempo de tramos rectos, obtener el desplazamiento como área bajo la gráfica v-t y analizar datos tomados en una pequeña experiencia.

Explicación

De x-t a v-t

En la gráfica velocidad-tiempo ( $v$ - $t$ ) se representa el tiempo en el eje horizontal y la velocidad en el vertical. Para construirla a partir de una gráfica $x$ - $t$ formada por tramos rectos:

Calcula la pendiente de cada tramo de la gráfica $x$ - $t$ : $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ .
Dibuja en la gráfica $v$ - $t$ , para cada tramo, un segmento horizontal a la altura de esa velocidad.

En la gráfica x-t…	En la gráfica v-t…
Tramo que sube (MRU, avanza)	Segmento horizontal por encima del eje ( $v > 0$ )
Tramo horizontal (reposo)	Segmento sobre el eje ( $v = 0$ )
Tramo que baja (MRU, retrocede)	Segmento horizontal por debajo del eje ( $v < 0$ )

En la gráfica $v$ - $t$ los cambios de velocidad aparecen como saltos. En la realidad duran un poco, pero los consideramos instantáneos para simplificar.

El área bajo la gráfica v-t es el desplazamiento

En un tramo de MRU, el desplazamiento es $\Delta x = v \cdot \Delta t$ , que es justo el área del rectángulo de base $\Delta t$ y altura $v$ .

Área por encima del eje → desplazamiento positivo.
Área por debajo del eje → desplazamiento negativo.
Desplazamiento total = suma de las áreas con su signo.
Distancia recorrida = suma de las áreas sin signo.

Esto también funciona cuando la velocidad cambia (gráfica inclinada): el área será un triángulo o un trapecio. Por ejemplo, el área del triángulo es $\dfrac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$ .

Gráficas con datos reales

Cuando medimos posiciones en el laboratorio, los puntos nunca quedan perfectamente alineados (por el tiempo de reacción al cronometrar, por ejemplo). Si quedan casi en una recta, el movimiento es aproximadamente un MRU: trazamos la recta que mejor se ajusta a los puntos y su pendiente es la velocidad.

Puntos clave

Cada tramo recto de la gráfica $x$ - $t$ se convierte en un segmento horizontal en la $v$ - $t$ , a la altura de su pendiente.
Reposo: $v = 0$ , segmento sobre el eje. Retroceso: segmento por debajo del eje.
El área entre la gráfica $v$ - $t$ y el eje de tiempos es el desplazamiento.
Las áreas por debajo del eje cuentan como negativas; para la distancia recorrida se suman sin signo.
Con datos experimentales, si los puntos $x$ - $t$ están casi alineados, la pendiente de la recta ajustada es la velocidad.

Errores frecuentes

ErrorCopiar la forma de la gráfica x-t en la v-t (dibujar una recta inclinada en v-t porque en x-t sube).
Cómo corregirloUna recta inclinada en x-t significa velocidad constante, que en v-t es una recta horizontal.
ErrorSumar todas las áreas como positivas al calcular el desplazamiento.
Cómo corregirloLas áreas por debajo del eje se restan. Solo para la distancia recorrida se suman todas como positivas.
ErrorLeer la posición directamente en la gráfica v-t.
Cómo corregirloLa gráfica v-t da la velocidad. Para la posición final suma a la posición inicial el desplazamiento (el área).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. De x-t a v-t, paso a paso gráfico
La gráfica representa la posición de un perro que corre por un pasillo recto. a) Dibuja su gráfica $v$ - $t$ . b) Comprueba con áreas que el desplazamiento total es el que se lee en la gráfica $x$ - $t$ . c) ¿Qué distancia ha recorrido?

Resolución
a) Calculamos la pendiente de cada tramo:

Tramo $\Delta x$ (m) $\Delta t$ (s) $v$ (m/s)

0–4 s $20 - 0 = 20$ 4 $+5$

4–6 s 0 2 0

6–10 s $0 - 20 = -20$ 4 $-5$

La gráfica $v$ - $t$ tiene tres segmentos horizontales: a 5 m/s de 0 a 4 s, sobre el eje de 4 a 6 s y a −5 m/s de 6 a 10 s.

b) Áreas: $5 \cdot 4 = +20$ m; $0 \cdot 2 = 0$ ; $(-5) \cdot 4 = -20$ m. Desplazamiento total: $20 + 0 - 20 = 0$ m. En la gráfica $x$ - $t$ se ve que el perro termina en $x = 0$ , donde empezó. ✔

c) Distancia recorrida: $20 + 0 + 20 = 40$ m.
Ejemplo 2. ¿Qué distancia hay entre dos estaciones de Metro? numérico (área con triángulos y rectángulo)
La gráfica muestra la velocidad de un tren de Metro entre dos estaciones: arranca, va a velocidad constante y frena. Calcula la distancia entre las estaciones.

Resolución
El desplazamiento es el área bajo la gráfica. La dividimos en tres figuras:
- Arranque (0–20 s), triángulo: $\dfrac{20 \cdot 15}{2} = 150$ m
- Velocidad constante (20–80 s), rectángulo: $60 \cdot 15 = 900$ m
- Frenada (80–100 s), triángulo: $\dfrac{20 \cdot 15}{2} = 150$ m
Total: $150 + 900 + 150 = 1200$ m. Las estaciones están a 1,2 km.

(Las aceleraciones, $a = \Delta v / \Delta t$ , son $\dfrac{15}{20} = 0{,}75\ \text{m/s}^2$ al arrancar y $-0{,}75\ \text{m/s}^2$ al frenar.)
Ejemplo 3. Práctica: ¿a qué velocidad caminamos? experimental (toma de datos en el pasillo)
Material: cinta métrica, cinta adhesiva, 7 cronómetros (los de los móviles valen).

Procedimiento: se pegan marcas en el suelo del pasillo cada 2 m, de 0 a 12 m. Un alumno se coloca un poco antes de la marca 0 y camina a ritmo constante. En cada marca hay un compañero que pone en marcha su cronómetro a la señal «¡ya!» (cuando el que camina pasa por la marca 0) y lo para cuando pasa por su marca.

Resultados de un grupo:

x (m) 0 2 4 6 8 10 12

t (s) 0 1,6 3,3 4,9 6,7 8,3 10,0

a) Representa la gráfica $x$ - $t$ . ¿Es un MRU? b) Calcula la velocidad. c) Dibuja la gráfica $v$ - $t$ y comprueba con el área la distancia recorrida. d) ¿Por qué no salen todos los puntos perfectamente alineados?

Resolución
a) Los puntos quedan casi en línea recta: el movimiento es aproximadamente un MRU.

b) Velocidad en cada tramo de 2 m: $\dfrac{2}{1{,}6} = 1{,}25$ ; $\dfrac{2}{1{,}7} = 1{,}18$ ; $\dfrac{2}{1{,}6} = 1{,}25$ ; $\dfrac{2}{1{,}8} = 1{,}11$ ; $\dfrac{2}{1{,}6} = 1{,}25$ ; $\dfrac{2}{1{,}7} = 1{,}18$ m/s. Todas están cerca de un mismo valor. Con el recorrido completo: $v = \frac{12\ \text{m}}{10{,}0\ \text{s}} = 1{,}2\ \text{m/s} \;(\approx 4{,}3\ \text{km/h})$

c) La gráfica $v$ - $t$ es una recta horizontal a 1,2 m/s de 0 a 10 s. Área: $1{,}2 \cdot 10 = 12$ m, que coincide con la distancia del pasillo. ✔

d) Por los errores de medida: cada cronometrador tarda unas décimas de segundo en reaccionar, y el que camina no mantiene un ritmo perfectamente constante.

Otra forma de tomar los datos: grabar con el móvil al compañero caminando junto a una regla o cinta métrica y analizar el vídeo con una app como Tracker o phyphox, que dan directamente la tabla y la gráfica $x$ - $t$ .

Tramo	$\Delta x$ (m)	$\Delta t$ (s)	$v$ (m/s)
0–4 s	$20 - 0 = 20$	4	$+5$
4–6 s	0	2	0
6–10 s	$0 - 20 = -20$	4	$-5$

x (m)	0	2	4	6	8	10	12
t (s)	0	1,6	3,3	4,9	6,7	8,3	10,0

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
A partir de la gráfica $x$ - $t$ , calcula la velocidad en cada tramo y dibuja en el hueco la gráfica $v$ - $t$ correspondiente.

Ver solución
0–5 s: 4 m/s; 5–10 s: 0. Gráfica v-t: horizontal a 4 m/s de 0 a 5 s y sobre el eje de 5 a 10 s.
0–5 s: $v = \dfrac{30 - 10}{5} = 4$ m/s. 5–10 s: la posición no cambia → $v = 0$ . En la gráfica $v$ - $t$ : segmento horizontal a la altura de 4 m/s entre 0 y 5 s, y segmento sobre el eje entre 5 y 10 s.
2. Fácil
La gráfica $v$ - $t$ corresponde a un patinador. a) ¿Qué tipo de movimiento lleva? b) Calcula su desplazamiento entre 0 y 8 s. c) Si en $t = 0$ estaba en $x = 5$ m, ¿dónde está en $t = 8$ s?

Ver solución
a) MRU a 3 m/s. b) 24 m. c) x = 29 m.
a) Velocidad constante de 3 m/s → MRU. b) Área del rectángulo: $3 \cdot 8 = 24$ m. c) $x = x_0 + \Delta x = 5 + 24 = 29$ m.
3. Media
La gráfica $v$ - $t$ representa el movimiento de un robot de limpieza por un pasillo recto. a) Describe su movimiento. b) Calcula el desplazamiento total y la distancia recorrida. c) Si salió del origen, ¿dónde termina?

Ver solución
a) Avanza a 6 m/s, para 3 s y retrocede a 4 m/s. b) Desplazamiento 14 m; distancia 46 m. c) En x = 14 m.
a) 0–5 s: avanza a 6 m/s; 5–8 s: parado; 8–12 s: retrocede a 4 m/s. b) Áreas: $6 \cdot 5 = 30$ m; $0$ ; $(-4) \cdot 4 = -16$ m. Desplazamiento: $30 - 16 = 14$ m. Distancia: $30 + 16 = 46$ m. c) $x = 0 + 14 = 14$ m.
4. Media
Un ciclista va 10 s a 8 m/s, se para 5 s y vuelve por el mismo camino durante 10 s a 4 m/s. a) Dibuja la gráfica $v$ - $t$ (toma como positivo el sentido de ida). b) Calcula con áreas su desplazamiento total y la distancia recorrida.

Ver solución
a) Segmentos: 8 m/s (0–10 s), 0 (10–15 s), −4 m/s (15–25 s). b) Desplazamiento 40 m; distancia 120 m.
a) Segmento horizontal a 8 m/s de 0 a 10 s; sobre el eje de 10 a 15 s; a −4 m/s de 15 a 25 s. b) Áreas: $8 \cdot 10 = 80$ m; $0$ ; $(-4) \cdot 10 = -40$ m. Desplazamiento: $80 - 40 = 40$ m (termina 40 m por delante de donde salió). Distancia: $80 + 40 = 120$ m.
5. Difícil
La gráfica $v$ - $t$ muestra un coche que sale de un semáforo. a) Calcula la distancia que recorre en los 30 s. b) Calcula su velocidad media en ese tiempo.

Ver solución
a) 500 m. b) 16,7 m/s (60 km/h).
a) Triángulo (0–10 s): $\dfrac{10 \cdot 20}{2} = 100$ m. Rectángulo (10–30 s): $20 \cdot 20 = 400$ m. Total: 500 m. b) $v_m = \dfrac{500\ \text{m}}{30\ \text{s}} = 16{,}7\ \text{m/s}$ , es decir, $16{,}7 \cdot 3{,}6 = 60$ km/h.

Para practicar más

1. Fácil
A partir de la gráfica $x$ - $t$ : a) calcula la velocidad en cada tramo; b) dibuja la gráfica $v$ - $t$ ; c) calcula con áreas el desplazamiento total y comprueba el resultado en la gráfica $x$ - $t$ .

Ver solución
a) 5 m/s; 0; −3 m/s. b) Segmentos a 5 m/s (0–10 s), 0 (10–20 s), −3 m/s (20–30 s). c) 20 m.
a) 0–10 s: $\dfrac{50}{10} = 5$ m/s; 10–20 s: 0; 20–30 s: $\dfrac{20 - 50}{10} = -3$ m/s. b) Tres segmentos horizontales a esas alturas. c) $5 \cdot 10 + 0 + (-3) \cdot 10 = 50 - 30 = 20$ m. En la gráfica $x$ - $t$ : empieza en 0 y termina en 20 m. ✔
2. Fácil
La gráfica $v$ - $t$ representa el movimiento de un carrito. a) ¿Qué significa que la velocidad sea negativa? b) Calcula su desplazamiento entre 0 y 15 s.

Ver solución
a) Que se mueve en sentido negativo. b) −30 m.
a) Que se mueve en el sentido contrario al que hemos tomado como positivo. b) Área: $(-2) \cdot 15 = -30$ m: se ha desplazado 30 m en sentido negativo.
3. Media
Experiencia en casa. Graba con el móvil un coche de juguete que rueda por el suelo junto a una regla y analiza el vídeo con una app como Tracker o phyphox (o pausando el vídeo cada 0,5 s). Un alumno obtuvo estos datos:

t (s) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

x (cm) 5 20 34 50 65 80

a) Dibuja la gráfica $x$ - $t$ . ¿Es aproximadamente un MRU? b) Calcula la velocidad en cm/s y en m/s. c) Dibuja la gráfica $v$ - $t$ . d) Si puedes, repite la experiencia con tus propios datos.

Ver solución
a) Sí, puntos casi alineados. b) 30 cm/s = 0,30 m/s. c) Horizontal a 0,30 m/s de 0 a 2,5 s.
a) Los puntos están casi alineados → aproximadamente MRU. b) Velocidades por tramos: 30, 28, 32, 30, 30 cm/s (casi iguales). Con todo el recorrido: $v = \dfrac{80 - 5}{2{,}5} = 30$ cm/s $= 0{,}30$ m/s. c) Recta horizontal a 0,30 m/s. Comprobación: área $= 0{,}30 \cdot 2{,}5 = 0{,}75$ m = 75 cm, lo que avanzó (de 5 a 80 cm). ✔
4. Media
La gráfica $v$ - $t$ muestra un tren de Metro entre dos estaciones. a) Calcula la distancia entre las estaciones. b) Calcula la velocidad media del tren en ese trayecto.

Ver solución
a) 900 m. b) 10 m/s.
a) Triángulo de arranque: $\dfrac{15 \cdot 12}{2} = 90$ m. Rectángulo: $60 \cdot 12 = 720$ m. Triángulo de frenada: $\dfrac{15 \cdot 12}{2} = 90$ m. Total: $90 + 720 + 90 = 900$ m. b) $v_m = \dfrac{900\ \text{m}}{90\ \text{s}} = 10$ m/s (36 km/h).
5. Difícil
La gráfica $v$ - $t$ corresponde a un móvil que sale del origen ( $x_0 = 0$ ). a) Calcula su posición en $t = 4$ , $6$ y $10$ s. b) Dibuja en el hueco su gráfica $x$ - $t$ .

Ver solución
a) 20 m, 20 m y 10 m. b) Rectas que unen (0, 0), (4, 20), (6, 20) y (10, 10).
a) 0–4 s: $\Delta x = 5 \cdot 4 = 20$ m → $x(4) = 20$ m. 4–6 s: reposo → $x(6) = 20$ m. 6–10 s: $\Delta x = (-2{,}5) \cdot 4 = -10$ m → $x(10) = 10$ m. b) Se unen con segmentos rectos los puntos (0, 0), (4, 20), (6, 20) y (10, 10): sube, horizontal y baja.