Examen 9

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1. 1. (1,25 puntos)

   En un viaje por la autovía A-3 de Madrid a Valencia, los kilómetros que faltan para llegar se pueden aproximar por $D = 350 - 100t$, donde $t$ es el tiempo en horas desde la salida.

   a) ¿Qué significan $350$ y $-100$? Indica sus unidades.

   b) ¿Cuántos kilómetros faltan al cabo de 2 h 15 min?

   c) ¿Cuánto dura el viaje?

   d) Si el coche fuera a 120 km/h, ¿cómo cambiaría la fórmula? ¿Y la gráfica?

2. 2. (1,25 puntos)

   a) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 6)$ y $B(3, -2)$. Escríbela en forma explícita y en forma general.

   b) ¿Pertenece el punto $P(5, -6)$ a esa recta?

   c) Halla $k$ para que el punto $(k, 10)$ pertenezca a la recta.

3. 3. (1,25 puntos)

   Dada la recta $r$: $2x - 3y + 6 = 0$, escribe la ecuación de:

   a) una recta paralela a $r$ que pase por el origen;

   b) una recta secante a $r$ (explica por qué lo es);

   c) una recta coincidente con $r$, pero con coeficientes distintos.

   d) Halla el punto de corte de $r$ con la recta $y = -x + 12$.

4. 4. (1,5 puntos)

   Una fórmula sencilla, muy usada en el deporte, estima la frecuencia cardíaca máxima $F$ (pulsaciones por minuto) de una persona según su edad $e$ (años): $F = 220 - e$ (es solo una aproximación).

   a) ¿Es una función afín? ¿Qué significan $220$ y la pendiente $-1$?

   b) ¿Cuál es la frecuencia cardíaca máxima estimada de una chica de 15 años?

   c) Para entrenar la resistencia se recomienda no pasar del 70 % de la frecuencia máxima. ¿Cuántas pulsaciones por minuto son para esa chica?

   d) ¿A qué edad la frecuencia máxima estimada es de 176 pulsaciones por minuto?

   e) ¿Tiene sentido usar la fórmula para $e = 0$ o para $e = 120$? Explica para qué valores te parece razonable.

5. 5. (1,25 puntos)

   La parábola de la gráfica se ha obtenido trasladando la parábola $y = -x^2$.

   a) Lee su vértice y su eje de simetría.

   b) Escribe su ecuación en la forma $y = a(x - p)^2 + q$.

   c) Comprueba tu ecuación con el punto en el que la parábola corta al eje Y.

   d) ¿Qué traslación lleva $y = -x^2$ a esta parábola?

6. 6. (2 puntos)

   a) Sin representarlas, usa el discriminante para decir cuántas veces corta al eje X cada parábola:

   $$y = 3x^2 - 2x + 1 \qquad y = 4x^2 + 12x + 9 \qquad y = -2x^2 + x + 6$$

   b) Para la tercera parábola, calcula los cortes con los ejes y el vértice, y represéntala.

7. 7. (1,5 puntos)

   Para el huerto escolar se dispone de 36 m de cinta para delimitar una parcela rectangular.

   a) Si uno de los lados mide $x$ metros, ¿cuánto mide el otro?

   b) Escribe el área $A(x)$ de la parcela. ¿Para qué valores de $x$ tiene sentido?

   c) ¿Qué dimensiones debe tener la parcela para que su área sea la mayor posible? ¿Cuál es esa área?