Examen 6

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   a) De todas las rectas de la familia $y = -x + n$, ¿cuál pasa por el punto $(3, 4)$?

   b) De todas las rectas de la familia $y = mx - 1$, ¿cuál pasa por el punto $(-2, 5)$?

   c) ¿Qué tienen en común todas las rectas de la familia $y = -x + n$? ¿Y todas las de la familia $y = mx - 1$?

   d) Escribe otras dos rectas de la familia $y = mx - 1$: una creciente y otra decreciente.

2. 2. (1,25 puntos)

   Observa la recta $r$ de la gráfica.

   a) Escribe su ecuación en forma explícita.

   b) Escríbela en forma general.

   c) Halla la ecuación de la recta paralela a $r$ que pasa por el punto $(3, -1)$.

3. 3. (1,25 puntos)

   Estudia la posición relativa de cada par de rectas. Si son secantes, halla su punto de corte.

   a) $y = 5x - 3$ e $y = -x + 9$

   b) $y = -\dfrac{x}{4} + 3$ y $x + 4y = 12$

   c) $y = 6x - 1$ y $12x - 2y = 4$

   d) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema formado por las dos ecuaciones de b)?

4. 4. (1,5 puntos)

   En el aula de tecnología, la impresora 3D necesita un tiempo fijo de preparación y, además, un tiempo proporcional a la masa de la pieza. Una pieza de 20 g tarda 70 min en total y una de 50 g, 145 min.

   a) Halla la función afín que da el tiempo $T$ (min) según la masa $p$ (g) de la pieza.

   b) ¿Qué significan la pendiente y la ordenada en el origen?

   c) ¿Cuánto tarda una pieza de 120 g? Exprésalo en horas y minutos.

   d) La clase dura 4 horas. ¿Cuál es la masa máxima que puede tener una pieza para que dé tiempo a imprimirla?

5. 5. (1,25 puntos)

   La parábola $y = ax^2$ pasa por el punto $(-3, -6)$.

   a) Halla el valor de $a$.

   b) ¿Se abre hacia arriba o hacia abajo? ¿Es más abierta o más cerrada que $y = x^2$?

   c) Sin hacer cálculos, ¿pasa también por $(3, -6)$? ¿Por qué? ¿Pasa por $(6, -24)$?

6. 6. (2 puntos)

   Dada la función $y = -0{,}5x^2 + 3x$:

   a) Calcula sus cortes con los ejes y su vértice.

   b) Represéntala.

   c) Indica su máximo, dónde crece y dónde decrece, y para qué valores de $x$ es positiva.

7. 7. (1,5 puntos)

   Una pastelería de Chamberí vende cajas de dulces navideños. Si pone cada caja a $x$ euros, el beneficio de la campaña, en euros, es $B(x) = -4x^2 + 160x - 1200$.

   a) ¿A qué precio debe vender cada caja para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio?

   b) ¿A qué precios no gana ni pierde?

   c) ¿Qué ocurre si pone las cajas a 32 €?