Examen 5

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   a) Calcula la pendiente de la recta que pasa por $A(-3, 5)$ y $B(1, -3)$. ¿La función es creciente o decreciente?

   b) Calcula la pendiente de la recta que pasa por $C(-2, -4)$ y $D(4, -1)$.

   c) Un tramo de una calle del centro de Madrid baja 4,2 m en 60 m de avance horizontal (datos aproximados). Calcula su pendiente y exprésala en tanto por ciento.

2. 2. (1,25 puntos)

   a) Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por $P(-4, 1)$ y tiene pendiente $\dfrac{3}{4}$, y exprésala en la forma $y = mx + n$.

   b) Escríbela en forma general, con coeficientes enteros.

   c) ¿En qué punto corta al eje X?

3. 3. (1,25 puntos)

   Resuelve gráficamente el sistema y comprueba la solución:

   $$\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x - y = 8 \end{cases}$$

4. 4. (1,5 puntos)

   Un club de pádel cobra a sus socios una cuota anual de 50 € y, además, 6 € por cada hora de pista que reservan.

   a) Escribe la función que da lo que paga un socio en un año, $C$ (€), según las horas de pista $x$.

   b) ¿Cuánto paga en un año un socio que juega 25 horas?

   c) Si un socio ha pagado 140 € en un año, ¿cuántas horas ha jugado?

   d) Otro club no cobra cuota y cobra 8 € por hora. ¿Con cuántas horas al año cuestan lo mismo los dos clubes? ¿Cuál conviene a quien juega 30 horas al año?

5. 5. (1,25 puntos)

   La sección de una antena parabólica sigue la parábola $y = 0{,}05x^2$, para $-20 \le x \le 20$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro de la antena e $y$ la altura, las dos en centímetros.

   a) ¿Cuál es el vértice? ¿Cuál es el eje de simetría?

   b) ¿Qué profundidad tiene la antena, es decir, qué altura hay en los bordes ($x = \pm 20$) respecto al centro?

   c) ¿A qué distancias del centro la altura es de 5 cm?

   d) Si se coloca la antena sobre un soporte de forma que su punto más bajo quede a 30 cm del suelo, ¿cuál es la nueva ecuación?

6. 6. (2 puntos)

   Dada la función $y = 2x^2 + 4x - 6$:

   a) Calcula el vértice, el eje y los cortes con los ejes.

   b) Represéntala, usando también el punto simétrico del corte con el eje Y.

   c) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y dónde la función es negativa.

7. 7. (1,5 puntos)

   La entrada de un túnel tiene forma de parábola. Tomando el suelo como eje X y un extremo de la entrada como origen, su contorno es $y = -0{,}5x^2 + 4x$ ($x$ e $y$ en metros).

   a) ¿Qué anchura tiene la entrada a ras de suelo?

   b) ¿Cuál es la altura máxima del túnel?

   c) ¿A qué distancia de un extremo la altura del túnel es de 6 m?

   d) Un camión de 2,5 m de ancho y 7 m de alto pasa justo por el centro del túnel. ¿Cabe? (Calcula la altura del túnel a 1,25 m del centro).