Examen 3

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   En el laboratorio echamos canicas iguales en una probeta con agua y medimos la altura $h$ del agua (en mm) según el número de canicas $x$. Los resultados están en la gráfica y en la tabla:

   Canicas $x$	2	5	8	10
   Altura $h$ (mm)	46	55	64	70

   a) Sergio dice que el modelo es $h = 23x$ y Laura dice que es $h = 4x + 38$, porque los dos «funcionan con 2 canicas». ¿Tienen razón? ¿Cuál de estas funciones describe los datos: $h = 23x$, $h = 4x + 38$ o $h = 3x + 40$? Razónalo.

   b) En el modelo correcto, ¿qué significan la pendiente y la ordenada en el origen?

   c) ¿Cuántas canicas hay que echar para que el agua llegue a 85 mm?

2. 2. (1,25 puntos)

   Una recta corta al eje X en el punto $(5, 0)$ y al eje Y en el punto $(0, -2)$.

   a) Halla su ecuación en forma explícita.

   b) ¿Pasa por el punto $(10, 2)$?

   c) Escríbela en forma general.

   d) Escribe la recta paralela a ella que pasa por el origen.

3. 3. (1,25 puntos)

   Sin resolverlos, di si cada sistema tiene una solución, ninguna o infinitas, y explica qué posición tienen sus rectas. Después resuelve el que tenga una sola solución.

   a) $\begin{cases} 3x - y = 2 \\ 6x - 2y = 5 \end{cases}$ b) $\begin{cases} x + 4y = 2 \\ -2x - 8y = -4 \end{cases}$ c) $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = -1 \end{cases}$

4. 4. (1,5 puntos)

   Una milla equivale aproximadamente a 1,6 km.

   a) Escribe la función que da los kilómetros $k$ que hay en $m$ millas. ¿Es lineal o afín? ¿Por qué?

   b) La maratón de Madrid tiene 42,195 km. ¿Cuántas millas son, aproximadamente? Redondea a las décimas.

   c) En una autopista de Estados Unidos, la velocidad máxima es de 70 millas por hora. ¿Cuántos km/h son?

   d) Representa la función para $0 \le m \le 30$.

5. 5. (1,25 puntos)

   Una parábola de la forma $y = a(x - p)^2 + q$ tiene el vértice en $(-1, 4)$ y pasa por el punto $(1, -4)$.

   a) Halla su ecuación.

   b) ¿Se abre hacia arriba o hacia abajo? ¿El vértice es un máximo o un mínimo?

   c) Sin hacer cálculos, escribe otro punto de la parábola cuya ordenada sea $-4$.

6. 6. (2 puntos)

   Dada la función $y = -3x^2 + 6x + 9$:

   a) Calcula su vértice y di si es un máximo o un mínimo. ¿Cuál es su recorrido?

   b) Calcula los cortes con los ejes y represéntala.

   c) Sin resolver ninguna ecuación, razona si la función puede tomar el valor $y = 15$. ¿Para cuántos valores de $x$ vale $y = 12$?

   d) Indica dónde crece y dónde decrece.

7. 7. (1,5 puntos)

   Un taller fabrica mochilas. El coste medio de cada mochila, en euros, depende del número $x$ de cientos de mochilas fabricadas al mes según el modelo $C(x) = 2x^2 - 24x + 100$.

   a) ¿Cuántas mochilas hay que fabricar al mes para que el coste medio sea el menor posible? ¿Cuál es ese coste?

   b) ¿Con qué producciones el coste medio es de 46 € por mochila?

   c) ¿Cuánto cuesta cada mochila, de media, si se fabrican 1000 al mes?