Examen 10

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1. 1. (1,25 puntos)

   En un club de baloncesto de Alcobendas se ha anotado la talla de zapatilla y la estatura de seis jugadores:

   Talla	42	43	43	44	45	46
   Estatura (cm)	172	176	180	181	185	190

   a) ¿Es la estatura función de la talla? ¿Y la talla función de la estatura? Justifícalo.

   b) Dada $g(x) = -x^2 + 5x$, calcula $g(-1)$ y $g(2)$ y decide, sin dibujar la gráfica, si los puntos $A(4, 4)$ y $B(-2, -6)$ están en ella.

2. 2. (1,5 puntos)

   a) La gráfica de $h$ es la línea quebrada que une $(-4, 3)$, $(0, -1)$ y $(5, 4)$, con los dos extremos incluidos, pero el punto $(2, 1)$ no pertenece a la gráfica (es un punto hueco). Halla $\text{Dom}\, h$ y $\text{Rec}\, h$. ¿Es $\text{Rec}\, h$ distinto por culpa del hueco?

   b) Una cisterna de 2000 L contiene 500 L de agua y se llena a razón de 75 L por minuto: $V(t) = 500 + 75t$. ¿Cuánto tarda en llenarse? Indica el dominio y el recorrido de $V$.

3. 3. (1,5 puntos)

   a) Comprueba con dos valores que $f(x) = 7 - 3x$ es decreciente y razona por qué lo es para cualquier par de valores.

   b) Si consideramos $f$ solo en el intervalo $[-1, 4]$, ¿cuáles son su máximo y su mínimo absolutos? ¿Tiene algún extremo relativo?

   c) ¿Es creciente, decreciente o constante $g(x) = -2$? Justifícalo con la definición.

4. 4. (1,5 puntos)

   La figura muestra la gráfica de $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ dibujada con GeoGebra.

   a) Lee en la gráfica los puntos de corte con el eje X.

   b) Comprueba a mano, sustituyendo en la fórmula, que los dos primeros que has leído son realmente cortes.

   c) Calcula el corte con el eje Y y comprueba que coincide con la gráfica.

5. 5. (1,25 puntos)

   Estudia el signo de:

   a) $f(x) = x^2 + 6$

   b) $g(x) = -(x - 1)^2$

   ¿Cómo son sus gráficas respecto al eje X?

6. 6. (1,25 puntos)

   La función $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ se puede simplificar: $\dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3} = x + 3$ si $x \neq 3$.

   a) ¿Cómo es su gráfica? ¿Es continua? ¿De qué tipo es su discontinuidad?

   b) Calcula $f(1)$. ¿Se puede calcular $f(3)$?

   c) ¿Qué valor habría que darle a $f(3)$ para que la función fuera continua?

7. 7. (1,75 puntos)

   En la pantalla del navegador de un coche eléctrico que va de Madrid a Salamanca se ven los kilómetros que faltan para llegar. La gráfica muestra esa distancia según el tiempo de viaje.

   a) ¿Cuántos kilómetros tiene el viaje? ¿Cuánto dura?

   b) Cuenta el viaje tramo a tramo, con la velocidad de cada tramo en km/h.

   c) ¿Cuántos kilómetros faltan a la primera hora de viaje?

   d) ¿Por qué esta gráfica baja aunque el coche avanza?