Examen 9

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   La gráfica de la función $f$ es la línea quebrada que une los puntos $(-5, 2)$, $(-3, -2)$, $(0, 1)$, $(2, 1)$ y $(5, 4)$.

   a) Lee en la gráfica $f(-5)$, $f(-3)$, $f(0)$ y $f(4)$.

   b) ¿Pertenece el punto $(-1, 0)$ a la gráfica? Justifícalo.

2. 2. (1,5 puntos)

   a) La gráfica de la figura viene desde la izquierda indefinidamente (en la figura solo se ve desde $x = -6$), bajando, hasta el punto $(1, -2)$, y desde ahí sube en línea recta hasta el punto $(4, 4)$, que está incluido y es el final de la gráfica. Halla su dominio y su recorrido.

   b) Una fábrica de Getafe hace cajas cúbicas de cartón con una arista de hasta 40 cm. El volumen de una caja de arista $x$ cm es $V(x) = x^3$ (cm³). Indica el dominio y el recorrido de $V$ en esta situación. ¿Puede valer la arista 0?

3. 3. (1,5 puntos)

   La figura muestra la gráfica de $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5$ en el intervalo $[-3, 5]$. Una compañera ha escrito:

   «$f$ decrece en $(22, -10)$ y en $(3, 5]$, y crece en $(-1, 3)$. Tiene un máximo relativo en $(-3, 22)$ y su mínimo absoluto está solo en $x = -1$.»

   Encuentra los errores y escribe la respuesta correcta: monotonía, extremos relativos y extremos absolutos.

4. 4. (1,5 puntos)

   Halla los puntos de corte con los ejes de:

   a) $p(x) = (x - 4)(x + 1)(2x - 3)$

   b) $q(x) = x^3 - 4x^2$

5. 5. (1,25 puntos)

   Estudia el signo de:

   a) $g(x) = 12 - 4x$

   b) $h(x) = 9 - x^2$

6. 6. (1,25 puntos)

   La función $f$ de la figura está formada por:

   • el segmento que va de $(-5, 0)$ a $(-2, 3)$, con los dos extremos incluidos;
   • el segmento que va de $(-2, -1)$, no incluido, a $(4, 5)$, incluido, al que le falta el punto $(1, 2)$ (punto hueco).

   a) Indica sus puntos de discontinuidad y el tipo de cada uno.

   b) ¿Cuánto vale $f(-2)$? ¿Y $f(1)$?

   c) ¿Cómo podrías arreglar una de las dos discontinuidades para que desapareciera?

7. 7. (1,75 puntos)

   La gráfica muestra la distancia a la estación de Atocha de tres trenes, A, B y C, que van a una ciudad a 30 km.

   a) Asocia cada tren con su descripción:

   1. Sale a la vez que los demás y no para en ninguna estación.
   2. Se detiene unos minutos en una estación intermedia.
   3. Sale más tarde, pero es más rápido.

   b) ¿Qué tren llega antes y en qué minuto?

   c) Calcula la velocidad del tren que no para y la del tren más rápido, en km/h.

   d) ¿Cuántos minutos está parado el tren B y a qué distancia de Atocha? ¿A qué velocidad, en km/h, va B después de la parada?