Examen 7

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1. 1. (1,25 puntos)

   a) Indica si cada relación es una función. Si lo es, di cuál es la variable independiente y cuál la dependiente.

   1. A cada día de octubre, la temperatura máxima registrada ese día en el Retiro.
   2. A cada temperatura máxima, los días de octubre en que se alcanzó.

   b) Dada $f(x) = 3x^2 - 2x$, calcula $f(-2)$, $f(0)$ y $f\!\left(\dfrac{1}{3}\right)$.

2. 2. (1,5 puntos)

   a) La función $f$ está formada por dos tramos:

   • de $(-3, 1)$, incluido, a $(2, 1)$, no incluido (tramo horizontal);
   • de $(2, 3)$, incluido, a $(5, -1)$, incluido.

   Halla $\text{Dom}\, f$ y $\text{Rec}\, f$.

   b) Se quiere construir un rectángulo de 30 m de perímetro. Si uno de sus lados mide $x$ metros, el otro mide $15 - x$ y su área es $A(x) = x\,(15 - x)$ (m²). El área máxima, $56{,}25$ m², se obtiene cuando el rectángulo es un cuadrado. Indica el dominio y el recorrido de $A$ en esta situación.

3. 3. (1,5 puntos)

   Una saltadora se lanza desde un trampolín de 10 m. Su altura sobre el agua es $h(t) = -5t^2 + 5t + 10$ (metros, con $t$ en segundos), desde que salta hasta que entra en el agua a los 2 s. La figura muestra la gráfica.

   a) Calcula $h(0{,}5)$ y explica qué representa ese punto en la gráfica.

   b) ¿En qué intervalo sube y en cuál baja?

   c) Indica el máximo y el mínimo absolutos de $h$ y su recorrido. ¿El máximo es también relativo?

4. 4. (1,5 puntos)

   Halla los puntos de corte con los ejes de:

   a) $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x$

   b) $g(x) = (x^2 + 1)(x - 2)$

5. 5. (1,25 puntos)

   Estudia el signo de $f(x) = \dfrac{x - 3}{x + 5}$. ¿Qué ocurre en $x = -5$?

6. 6. (1,25 puntos)

   Una tienda online cobra estos gastos de envío: pedidos de menos de 30 €, 4,95 €; desde 30 € hasta menos de 60 €, 2,95 €; desde 60 €, gratis. Sea $T(x)$ lo que se paga en total (compra más envío) por un pedido de $x$ euros.

   a) Calcula $T(29)$, $T(30)$, $T(59)$ y $T(60)$.

   b) ¿En qué valores de $x$ es discontinua $T$? ¿De qué tipo son las discontinuidades?

   c) ¿Qué sale más barato, un pedido de 29 € o uno de 30 €?

7. 7. (1,75 puntos)

   La gráfica muestra los litros de leche que hay en el tanque de una granja de vacas de la sierra de Madrid, entre las 5 h y las 24 h.

   a) Cuenta lo que ocurre en cada tramo, indicando a qué ritmo (L/h) sube o baja la leche cuando cambia.

   b) ¿Cuál es la mayor cantidad de leche que hay en el tanque? ¿A qué hora se alcanza por primera vez?

   c) ¿Qué puede ocurrir entre las 9 h y las 9:30?