Examen 6

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   En una carretera seca, la distancia que recorre un coche desde que el conductor ve un obstáculo hasta que se detiene es, aproximadamente, $$d(v) = 0{,}3v + 0{,}005v^2$$ donde $v$ es la velocidad en km/h y $d$ la distancia en metros.

   a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente?

   b) Calcula $d(50)$ y $d(100)$.

   c) Calcula $d(120)$ y explica qué significa en la situación.

2. 2. (1,5 puntos)

   a) La función $g$ tiene dos tramos rectos:

   • el primero va de $(-5, 2)$ a $(-1, -2)$, con los dos extremos incluidos;
   • el segundo va de $(1, 0)$, no incluido, a $(4, 3)$, incluido.

   Halla $\text{Dom}\, g$ y $\text{Rec}\, g$.

   b) Una academia de idiomas cobra 45 € de matrícula y 30 € por cada mes de clase. Un curso dura como máximo 9 meses. El coste de $n$ meses es $C(n) = 45 + 30n$. Indica el dominio de $C$, calcula su valor mínimo y su valor máximo, y di cómo es su gráfica.

3. 3. (1,5 puntos)

   La gráfica de $g$ es la línea quebrada que une $(-5, 3)$, $(-2, -4)$, $(1, 2)$, $(3, -1)$ y $(6, 5)$; su dominio es $[-5, 6]$.

   a) Estudia su crecimiento y decrecimiento.

   b) Halla sus extremos relativos y absolutos. ¿Hay algún extremo absoluto que no sea relativo?

   c) Escribe su recorrido.

4. 4. (1,5 puntos)

   En una plaza de Madrid, una fuente lanza un chorro de agua desde una boquilla colocada sobre un pedestal. La altura del chorro sobre el suelo es $$h(x) = -0{,}25x^2 + x + 3$$ (metros), donde $x$ es la distancia horizontal, en metros, desde la boquilla.

   a) Halla el corte con el eje Y e interprétalo.

   b) Halla los cortes con el eje X. ¿Qué significan? ¿Tienen sentido los dos?

5. 5. (1,25 puntos)

   a) Estudia el signo de $f(x) = 3x + 6$.

   b) La gráfica de $g$ es la línea quebrada que une $(-5, -2)$, $(-3, 2)$, $(1, 2)$, $(3, -2)$ y $(6, 4)$. Lee sus ceros e indica dónde es positiva y dónde es negativa.

6. 6. (1,25 puntos)

   a) La figura muestra la gráfica de $y = \dfrac{6}{x + 2}$. ¿Es continua? Si no lo es, di en qué valor de $x$ y de qué tipo es la discontinuidad.

   b) Sin dibujarlas, indica si son continuas. Si no lo son, di en qué valores de $x$ son discontinuas:

   1. $y = x^3 - x$
   2. $y = \dfrac{5}{x - 4}$
   3. $y = \dfrac{x + 1}{x^2 - 9}$

7. 7. (1,75 puntos)

   Raúl va andando a casa de su prima, que está a 1800 m, y tarda 24 minutos. Se queda allí 40 minutos. Su tío lo lleva de vuelta en coche y en 6 minutos lo deja en una tienda que está a 300 m de casa de Raúl; allí pasa 5 minutos comprando y después llega a casa andando en 4 minutos.

   a) Dibuja la gráfica de la distancia de Raúl a su casa según el tiempo.

   b) ¿A qué velocidad (m/min) va andando a casa de su prima? ¿Y en el coche?

   c) ¿Cuánto tiempo pasa desde que sale hasta que vuelve? ¿A qué distancia de casa está a los 12 minutos?