Examen 5

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1. 1. (1,25 puntos)

   Dada la función $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$:

   a) Calcula $f(0)$, $f(-2)$ y $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

   b) ¿Está el punto $\left(2, \dfrac{3}{5}\right)$ en la gráfica de $f$?

   c) ¿Tiene imagen el número $-3$? ¿Por qué?

2. 2. (1,5 puntos)

   a) La figura muestra la gráfica de $f(x) = 4 - x^2$ para $x$ entre $-3$ y $2$, ambos incluidos. Halla $\text{Dom}\, f$ y $\text{Rec}\, f$.

   b) Una rampa de skate en forma de U empieza en un borde a 4 m de altura ($x = 0$). Su altura es $h(x) = 0{,}25x^2 - 2x + 4$ (metros), donde $x$ es la distancia horizontal desde ese borde, y su punto más bajo está en $x = 4$. El otro borde está también a 4 m de altura. ¿A qué distancia horizontal está el otro borde? Indica el dominio y el recorrido de $h$ en esta situación.

3. 3. (1,5 puntos)

   Considera la función $f(x) = x^2 - 6x + 5$ definida solo en el intervalo $[0, 7]$.

   a) Completa una tabla de valores para $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

   b) Deduce dónde crece y dónde decrece, y comprueba con la definición, tomando dos valores, que decrece en el primer intervalo.

   c) Indica sus extremos relativos y absolutos.

4. 4. (1,5 puntos)

   Halla los puntos de corte con los ejes y explica cómo es cada gráfica respecto al eje X:

   a) $f(x) = 3x^2 - 12x$

   b) $g(x) = 4x^2 + 4x + 1$

   c) $h(x) = x^2 + 2x + 5$

5. 5. (1,25 puntos)

   La figura muestra la gráfica de $f(x) = \dfrac{x^3 - 7x - 6}{3}$ en el intervalo $[-3, 4]$.

   a) Lee sus ceros y di en qué intervalos es positiva y en cuáles negativa.

   b) Comprueba que $x^3 - 7x - 6 = (x + 1)(x + 2)(x - 3)$ y calcula $f(0)$ para confirmar el signo en el intervalo que contiene al 0.

6. 6. (1,25 puntos)

   La función $f$ de la figura tiene dos tramos rectos: el primero va de $(-4, 3)$ a $(0, 1)$, con los dos extremos incluidos; el segundo empieza en $(0, -1)$, no incluido, y llega a $(4, 3)$.

   a) ¿Es continua? Si no lo es, indica dónde es discontinua y de qué tipo es la discontinuidad.

   b) ¿Cuánto vale $f(0)$? ¿Cuánto mide el salto?

   c) Escribe los intervalos en los que es continua.

7. 7. (1,75 puntos)

   En una esclusa de un canal, el agua de la cámara está a 4 m de altura. Para que baje un barco, la cámara se vacía a ritmo constante y en 8 minutos el nivel llega a 0 m. Durante 6 minutos el nivel no cambia mientras el barco sale y entra otro. Después la cámara se llena, también a ritmo constante, en 16 minutos, hasta los 4 m.

   a) Dibuja la gráfica de la altura del agua según el tiempo (en minutos, desde que empieza a vaciarse).

   b) ¿A qué ritmo (m/min) baja el agua al vaciarse? ¿A qué ritmo sube al llenarse?

   c) ¿Cuántos minutos después de empezar a vaciarse vuelve a estar el agua a 2 m mientras se llena?