Examen 4

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   En una liga de fútbol sala de un distrito de Madrid, cada equipo juega dos partidos contra cada uno de los demás (ida y vuelta). Si hay $n$ equipos, el número de partidos de la liga es $$P(n) = n\,(n - 1)$$

   a) Calcula $P(8)$ y $P(12)$.

   b) ¿Cuántos partidos más hay con 11 equipos que con 10?

   c) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Tiene sentido calcular $P(7{,}5)$?

2. 2. (1,5 puntos)

   a) Escribe como intervalo: $-1 \le x < 3$; $x > -2$; $x \le 5$. Escribe como desigualdad $(-4, 0]$ y di si $-4$ y $0$ pertenecen a él.

   b) Una impresora 3D del aula de tecnología fabrica una pieza de 360 g de plástico. Según el ajuste, deposita $v$ gramos por hora, con $v$ entre 60 y 120 g/h. El tiempo que tarda es $t(v) = \dfrac{360}{v}$ (horas). Calcula $t(60)$, $t(90)$ y $t(120)$ e indica el dominio y el recorrido de $t$ en esta situación.

3. 3. (1,5 puntos)

   La gráfica muestra la concentración de dióxido de nitrógeno (NO₂), en µg/m³, en una estación de medida de la calidad del aire de Madrid durante un día laborable (datos aproximados).

   a) ¿En qué intervalos aumenta la concentración? ¿En cuáles disminuye?

   b) Indica los máximos y los mínimos relativos. ¿Con qué pueden tener que ver los máximos?

   c) ¿Cuáles son el máximo y el mínimo absolutos?

4. 4. (1,5 puntos)

   Lucas dibuja con GeoGebra $g(x) = x^2 - 25x + 100$ con la ventana $-10 \le x \le 10$, $-10 \le y \le 10$, y solo ve un trozo pequeño, casi recto, que baja y corta al eje X una sola vez. Concluye que $g$ solo tiene un corte con el eje X.

   a) Halla a mano todos los puntos de corte de $g$ con los ejes.

   b) ¿Por qué Lucas ve solo un corte? Propón una ventana en la que se vean todos los cortes y el punto más bajo de la gráfica, que está en $x = 12{,}5$.

5. 5. (1,25 puntos)

   Estudia el signo de $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 3}$.

6. 6. (1,25 puntos)

   Indica si la gráfica de cada situación es continua, escalonada (con saltos) o de puntos sueltos, y justifica brevemente cada respuesta:

   a) La velocidad de un coche durante un trayecto por la M-30.

   b) El dinero que hay en una hucha a lo largo de un mes.

   c) El número de viajeros que entran en una estación de Metro cada día de una semana.

   d) La masa de una sandía mientras crece en la planta.

   e) El precio de enviar una carta según su peso, por tramos de peso.

7. 7. (1,75 puntos)

   Un recipiente está formado por tres prismas colocados uno encima de otro, todos de 10 cm de altura: el de abajo tiene una base de 300 cm², el del medio de 150 cm² y el de arriba otra vez de 300 cm². Se llena con un grifo que echa 1,5 L por minuto ($1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3$).

   a) ¿Cuánto tarda en llenarse cada parte?

   b) ¿A qué ritmo (cm/min) sube el agua en cada parte?

   c) Dibuja la gráfica de la altura del agua según el tiempo.