Examen 2

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   La función $k$ viene dada por esta tabla:

   $x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
   $k(x)$	7	3	1	1	3	7

   a) Halla $k(-1)$ y $k(3) - 2 \cdot k(2)$.

   b) ¿Hay dos valores de $x$ distintos con la misma imagen? ¿Impide eso que $k$ sea una función?

   c) Comprueba con dos valores de la tabla que coincide con $k(x) = x^2 - x + 1$ y usa la fórmula para calcular $k(10)$ y $k\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)$.

2. 2. (1,5 puntos)

   a) La función $f$ tiene dos tramos:

   • de $(-6, -3)$, incluido, a $(-2, -1)$, incluido;
   • de $(0, 2)$, no incluido, a $(3, 5)$, incluido.

   Halla $\text{Dom}\, f$ y $\text{Rec}\, f$.

   b) Un submarinista está a 30 m de profundidad y asciende hacia la superficie a 9 m por minuto. Su profundidad es $p(t) = 30 - 9t$ (metros, con $t$ en minutos). ¿Cuándo llega a la superficie? Indica el dominio y el recorrido de $p$ (da el tiempo como fracción y en minutos y segundos).

3. 3. (1,5 puntos)

   La gráfica de $f$ es la de la figura: viene desde arriba por la izquierda indefinidamente, baja hasta $(-2, -2)$, sube hasta $(1, 3)$ y después baja sin fin hacia la derecha (en la figura solo se ve entre $x = -6$ y $x = 5$). Su dominio son todos los números reales.

   a) Estudia su crecimiento y decrecimiento.

   b) Halla sus máximos y mínimos relativos.

   c) ¿Tiene máximo absoluto? ¿Y mínimo absoluto? Justifícalo y escribe su recorrido.

4. 4. (1,5 puntos)

   Halla los puntos de corte con los ejes de:

   a) $y = -2x + 7$

   b) $f(x) = x^2 - 3x - 10$

5. 5. (1,25 puntos)

   Estudia el signo de $f(x) = x^2 - 2x - 15$. Indica dónde es positiva, dónde es negativa y dónde vale 0.

6. 6. (1,25 puntos)

   Dibuja la gráfica de una función definida en $[-4, 4]$ que cumpla todo esto:

   • es continua en todos los puntos salvo en $x = -1$ y en $x = 2$;
   • en $x = -1$ tiene un salto y $f(-1) = 3$;
   • en $x = 2$ tiene un hueco (le falta un punto).

   Marca con claridad los puntos rellenos y los huecos.

7. 7. (1,75 puntos)

   La gráfica muestra el número de bicicletas disponibles en una estación de bicicletas públicas de Madrid a lo largo de un día laborable (datos aproximados).

   a) ¿Cuántas bicicletas hay a las 9 h? ¿Y a las 15 h?

   b) ¿Cuándo hay más bicicletas y cuántas? ¿Y menos?

   c) ¿En qué intervalos aumenta el número de bicicletas?

   d) ¿A qué ritmo (bicicletas por hora) baja entre las 7 h y las 9 h? ¿Qué puede estar pasando a esas horas?