Examen 10

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1. 1. (1,25 puntos)

   En un vivero se plantan árboles jóvenes en un rectángulo de $(n+1)$ filas y $(n+2)$ columnas, y se deja un hueco libre para la caseta de herramientas. Así, la plantación 1 tiene 5 árboles; la 2, 11; la 3, 19; la 4, 29.

   a) Calcula las diferencias y escribe los árboles de las plantaciones 5 y 6.

   b) Escribe la fórmula del número de árboles de la plantación $n$ a partir de la descripción y comprueba operando que es igual a $n^2 + 3n + 1$.

   c) ¿Cuántos árboles tiene la plantación 20?

2. 2. (1,25 puntos)

   Halla el término general de cada sucesión y comprueba tu respuesta con el último término que se da:

   a) $15, 12, 9, 6, \dots$

   b) $2, 5, 10, 17, \dots$

   c) $\dfrac{3}{2}, \dfrac{5}{4}, \dfrac{7}{8}, \dfrac{9}{16}, \dots$

   d) $7, 49, 343, \dots$

3. 3. (1,25 puntos)

   Indica cuáles de estas sucesiones son progresiones aritméticas. En las que lo sean, da la diferencia, el término general y calcula $a_{12}$.

   a) $17, 11, 5, -1, \dots$

   b) $7, 21, 63, 189, \dots$

   c) $0{,}75;\ 1{,}5;\ 2{,}25;\ 3;\ \dots$

   d) $2, 5, 9, 14, \dots$

4. 4. (1,5 puntos)

   Queremos sumar todos los números de dos cifras que, al dividirlos entre 4, dan resto 1.

   a) Escribe los cuatro primeros. ¿Qué tipo de progresión forman? ¿Cuál es el último?

   b) ¿Cuántos números son?

   c) Calcula su suma.

5. 5. (1,5 puntos)

   En un concurso de la tele, la primera pregunta acertada da 5 € y cada pregunta acertada da el doble que la anterior.

   a) ¿Cuánto da la pregunta 8?

   b) ¿Cuánto dinero se lleva en total quien acierta las 8 primeras preguntas?

   c) ¿Cuántas preguntas seguidas hay que acertar para superar los 10 000 € en total?

6. 6. (1,25 puntos)

   Considera la suma infinita $0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}009 + \dots$

   a) Calcula las cinco primeras sumas parciales $S_1, \dots, S_5$. ¿A qué número parecen acercarse?

   b) Comprueba que es una progresión geométrica y calcula la suma infinita con la fórmula.

   c) ¿Qué conclusión sacas sobre el número $0{,}999\ldots$ (con infinitos nueves)?

7. 7. (2 puntos)

   Una empresa instala placas solares en los tejados de un barrio. La primera semana instala 12 placas y cada semana instala 4 placas más que la semana anterior.

   a) ¿Qué semana instala 60 placas?

   b) ¿Cuántas placas ha instalado en total desde la primera semana hasta esa, ambas incluidas?

   c) El contrato es de 1000 placas. Comprueba que la suma de las $n$ primeras semanas es $S_n = n\cdot(2n + 10)$ y averigua cuántas semanas tarda en instalarlas todas.