Examen 9

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   Un tren de juguete tiene una locomotora con 6 ruedas, y cada vagón que se le engancha tiene 8 ruedas.

   a) Completa una tabla con el número de ruedas del tren con 1, 2, 3 y 4 vagones.

   b) Escribe la fórmula del número de ruedas $R$ con $n$ vagones y explica qué significa cada número de la fórmula.

   c) ¿Cuántas ruedas tiene el tren con 15 vagones?

   d) ¿Puede un tren de este modelo tener exactamente 100 ruedas? Justifícalo.

2. 2. (1,25 puntos)

   a) Escribe los cinco primeros términos de la sucesión recurrente $a_1 = 4$, $a_n = 2 \cdot a_{n-1} - 3$.

   b) Escribe los seis primeros términos de la sucesión $b_1 = 2$, $b_2 = 5$, $b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$. ¿A qué sucesión famosa se parece su ley de recurrencia?

   c) Si quisieras calcular $b_{30}$, ¿qué inconveniente tiene la ley de recurrencia?

3. 3. (1,25 puntos)

   Una vela de 25 cm se consume 1,5 cm cada hora. Llamamos $l_n$ a la longitud de la vela al final de la hora $n$.

   a) Escribe $l_1$, $l_2$ y $l_3$. ¿Es una progresión aritmética? ¿Cuál es su diferencia?

   b) Escribe el término general y calcula cuánto mide la vela al final de la hora 12.

   c) Si la vela mide 11,5 cm, ¿cuántas horas lleva encendida?

4. 4. (1,5 puntos)

   Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética y su perímetro es 36 cm.

   a) Llama a los lados $x - d$, $x$ y $x + d$ y usa el perímetro para calcular $x$.

   b) Usa el teorema de Pitágoras para calcular $d$ y da los tres lados.

   c) Calcula el área del triángulo.

5. 5. (1,5 puntos)

   En una progresión geométrica, $a_2 = 4$ y $a_5 = 500$.

   a) Calcula la razón y el primer término.

   b) Escribe el término general y calcula $a_7$.

   c) Calcula la suma de los cinco primeros términos.

6. 6. (1,25 puntos)

   a) La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón $-\dfrac{1}{2}$ es 12. Calcula el primer término y escribe los cuatro primeros términos.

   b) Otra progresión geométrica tiene $a_1 = 15$ y la suma de todos sus términos es 20. Calcula la razón y escribe sus tres primeros términos.

7. 7. (2 puntos)

   Dos tiendas online empiezan a vender el mismo mes. La tienda A vende 5000 pedidos el primer mes y cada mes vende 200 pedidos más que el anterior. La tienda B vende 4000 pedidos el primer mes y cada mes sus ventas crecen un 5 %. Llamamos $A_n$ y $B_n$ a los pedidos de cada tienda $n$ meses después del primero.

   a) ¿Qué tipo de progresión sigue cada tienda? Indica la diferencia o la razón.

   b) ¿Cuántos pedidos venderá cada tienda 5 meses después del primero? ¿Y 10 meses después? Redondea a las unidades.

   c) Tanteando con la calculadora desde $n = 10$, ¿cuántos meses después del primero venderá B más pedidos que A por primera vez?