Examen 8

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   Observa la serie $1, 5, 13, 29, 61, \dots$

   a) Descubre la regla con dos operaciones que permite pasar de un término al siguiente y escribe los dos términos siguientes.

   b) Comprueba con los cinco primeros términos que el término que ocupa el lugar $n$ es $2^{n+1} - 3$.

   c) Usa la fórmula para calcular el término que ocupa el lugar 10.

   d) Justifica con álgebra que, si aplicas la regla de a) a $2^{n+1} - 3$, obtienes la fórmula del lugar siguiente.

2. 2. (1,25 puntos)

   Dada la sucesión $a_n = n^2 - 4n$:

   a) Calcula sus seis primeros términos.

   b) Represéntalos en los ejes. ¿Por qué no se unen los puntos?

   c) ¿Es 45 un término de la sucesión? Si lo es, ¿qué lugar ocupa?

3. 3. (1,25 puntos)

   Los días laborables, el primer tren de Cercanías de una línea sale de la estación a las 6:10 y después sale uno cada 12 minutos.

   a) Escribe la hora de salida de los cuatro primeros trenes.

   b) Llamamos $t_n$ a los minutos que pasan desde las 6:00 hasta que sale el tren $n$. Escribe el término general $t_n$.

   c) ¿A qué hora sale el tren número 20?

   d) ¿Sale algún tren a las 8:30?

4. 4. (1,5 puntos)

   Iván empieza un libro de 351 páginas. El primer día lee 15 páginas y cada día lee 2 páginas más que el día anterior.

   a) ¿Cuántas páginas lee el día 10?

   b) ¿Cuántas páginas lleva leídas al terminar el día 10?

   c) ¿Cuántos días tarda en terminar el libro?

5. 5. (1,5 puntos)

   Para construir una «alfombra» fractal se parte de un cuadrado de 81 cm de lado. En la figura 1 se divide en 9 cuadrados iguales y se quita el del centro: quedan 8 cuadrados. En la figura 2 se hace lo mismo con cada uno de esos 8 cuadrados, y así sucesivamente.

   a) ¿Cuántos cuadrados quedan en las figuras 1, 2 y 3? Escribe el término general.

   b) ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado pequeño en las figuras 1, 2, 3 y 4? ¿Qué razón tiene esta progresión?

   c) ¿Qué figura tiene 32 768 cuadrados?

6. 6. (1,25 puntos)

   Un pozo de petróleo produce 60 000 barriles el primer año y, a partir de ahí, cada año produce el 75 % de lo que produjo el año anterior.

   a) ¿Cuántos barriles produce el segundo, el tercer y el cuarto año?

   b) ¿Cuántos barriles ha producido en total en los 4 primeros años?

   c) Se calcula que el yacimiento tiene 250 000 barriles. Si la producción sigue así indefinidamente, ¿llegará a agotarse? Justifícalo con la suma infinita.

7. 7. (2 puntos)

   Una biblioteca municipal de Madrid lanza una campaña para conseguir socios. En enero se hacen socias 120 personas y cada mes se hacen socias 15 personas más que el mes anterior.

   a) ¿Qué tipo de progresión forman los socios nuevos de cada mes? ¿Cuál es su diferencia o su razón?

   b) ¿Cuántos socios nuevos tiene en diciembre?

   c) ¿Cuántos socios nuevos ha conseguido en total en todo el año?

   d) ¿En qué mes se hacen socias 225 personas?