Examen 7

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   Escribe un número de dos cifras, invierte el orden de sus cifras y suma los dos números. Por ejemplo, $23 + 32 = 55$.

   a) Hazlo con otros dos números de dos cifras. ¿De qué número son siempre múltiplos los resultados?

   b) Demuéstralo con álgebra. (Un número de dos cifras con cifra de las decenas $a$ y cifra de las unidades $b$ se escribe $10a + b$.)

   c) ¿Qué ocurre si en lugar de sumar se resta el número mayor menos el menor? Justifícalo con álgebra.

2. 2. (1,25 puntos)

   Dada la sucesión $a_n = \dfrac{n+3}{2n}$:

   a) Calcula $a_1$, $a_2$, $a_5$ y $a_{10}$. Da los resultados en forma de fracción irreducible.

   b) ¿Es $\dfrac{7}{12}$ un término de la sucesión? Si lo es, ¿qué lugar ocupa?

   c) Halla el término general de la sucesión $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{4}{11}, \dots$

3. 3. (1,25 puntos)

   En las gradas de un polideportivo, cada fila está más alta que la anterior y todas suben lo mismo. La fila 3 está a 1,5 m de altura sobre la pista y la fila 9, a 3,9 m. Las alturas de las filas forman una progresión aritmética.

   a) Calcula la diferencia y la altura de la fila 1.

   b) Escribe las alturas de las cinco primeras filas y el término general $h_n$.

   c) ¿Qué fila está a 7,5 m de altura?

4. 4. (1,5 puntos)

   Dada la progresión aritmética $6, 13, 20, 27, \dots$

   a) Escribe el término general y calcula $a_{30}$.

   b) Calcula la suma de los 30 primeros términos.

   c) ¿Qué lugar ocupa el término que vale 146?

5. 5. (1,5 puntos)

   En una progresión geométrica, $a_1 = -3$ y $a_3 = -27$.

   a) Calcula la razón. ¿Cuántas progresiones cumplen estas condiciones?

   b) Escribe los cinco primeros términos de cada una.

   c) Calcula la suma de los cinco primeros términos de cada una.

6. 6. (1,25 puntos)

   La gráfica muestra las seis primeras sumas parciales $S_1, S_2, \dots, S_6$ de una suma infinita cuyos términos están en progresión geométrica.

   a) Lee en la gráfica $S_1$, $S_2$ y $S_3$ y obtén a partir de ellas los tres primeros términos $a_1$, $a_2$ y $a_3$.

   b) Calcula la razón. ¿Tiene suma infinita esta progresión? ¿Por qué?

   c) Calcula la suma infinita y explica cómo se ve en la gráfica.

7. 7. (2 puntos)

   La asociación de familias de un instituto deposita en el banco los 8000 € que ha recaudado en una rifa, al 3,5 % de interés compuesto anual.

   a) Escribe el capital al final de los años 1, 2 y 3. ¿Qué tipo de progresión forman? ¿Cuál es la razón?

   b) ¿Qué capital habrá al cabo de 5 años? ¿Cuántos euros de intereses se habrán generado?

   c) Si el interés fuera simple (280 € cada año), ¿cuánto habría a los 5 años? ¿Cuánto se gana de más con el interés compuesto?