Examen 5

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1. 1. (1,25 puntos)

   Con naipes se construyen castillos de varios pisos. Cada piso tiene parejas de cartas inclinadas apoyadas una contra otra y, entre piso y piso, cartas horizontales. Un castillo de 1 piso usa 2 cartas; de 2 pisos, 7 cartas; de 3 pisos, 15 cartas; de 4 pisos, 26 cartas.

   a) Calcula las diferencias entre términos consecutivos. ¿Cuántas cartas necesita un castillo de 5 pisos?

   b) Comprueba que la fórmula $C = \dfrac{n \cdot (3n+1)}{2}$ da el número de cartas de los cuatro primeros castillos.

   c) ¿Cuántos pisos tiene un castillo construido con 155 cartas?

2. 2. (1,25 puntos)

   Una sucesión está definida por $a_1 = -2$ y $a_n = a_{n-1} + 5$.

   a) Escribe sus cuatro primeros términos.

   b) Halla su término general y úsalo para calcular $a_{40}$.

   c) ¿Es 120 un término de la sucesión? Justifícalo.

3. 3. (1,25 puntos)

   Dada la progresión aritmética de término general $a_n = 47 - 3n$:

   a) Calcula $a_1$ y la diferencia. ¿Es creciente o decreciente?

   b) ¿Cuál es el primer término negativo? ¿Qué lugar ocupa?

   c) ¿Es $-100$ un término de la progresión? Si lo es, ¿qué lugar ocupa?

4. 4. (1,5 puntos)

   Para sujetar un toldo inclinado se colocan 6 postes en fila, a la misma distancia unos de otros. El primero mide 1,2 m y el último 3,2 m, y sus alturas forman una progresión aritmética.

   a) ¿Cuántos medios aritméticos hay que interpolar? Calcula la diferencia.

   b) ¿Cuánto miden los postes intermedios?

   c) ¿Cuántos metros de poste hacen falta en total?

5. 5. (1,5 puntos)

   La gráfica muestra los cinco primeros términos de una sucesión.

   a) Escribe los términos y comprueba que forman una progresión geométrica. ¿Cuál es la razón? ¿Por qué los puntos no están alineados?

   b) Escribe el término general y calcula $a_8$ (redondea a las centésimas).

   c) Calcula la suma de los cinco primeros términos.

6. 6. (1,25 puntos)

   Se colocan en fila, uno junto a otro, infinitos cuadrados: el primero tiene 30 cm de lado y el lado de cada cuadrado es $\dfrac{2}{3}$ del lado del anterior.

   a) Escribe el lado de los tres primeros cuadrados. ¿Qué longitud ocupa en total la fila de cuadrados?

   b) Escribe el área de los tres primeros cuadrados. ¿Cuál es la razón de esta progresión?

   c) ¿Cuánto suman las áreas de todos los cuadrados?

7. 7. (2 puntos)

   Unas láminas de cristal tintado dejan pasar cada una el 80 % de la luz que les llega. Se colocan varias láminas, una detrás de otra.

   a) ¿Qué porcentaje de la luz pasa después de 1, 2 y 3 láminas? ¿Qué tipo de progresión forman? ¿Cuál es la razón?

   b) ¿Qué porcentaje de la luz pasa después de 5 láminas? Redondea a las centésimas.

   c) ¿Cuántas láminas hay que poner, como mínimo, para que pase menos del 10 % de la luz? Resuélvelo por tanteo.