Examen 4

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1. 1. (1,25 puntos)

   Un artista decora una pared con mosaicos de azulejos. El mosaico $n$ es un cuadrado de $(n+2) \times (n+2)$ azulejos al que le faltan los 4 azulejos de las esquinas. Los primeros mosaicos tienen $5, 12, 21, 32, \dots$ azulejos.

   a) Calcula las diferencias entre términos consecutivos. ¿Qué indican sobre la fórmula?

   b) Escribe la fórmula con la descripción del dibujo y comprueba que es equivalente a $n^2 + 4n$. Explica qué representa cada parte de $n^2 + 4n$ en el mosaico (un cuadrado central y cuatro tiras).

   c) ¿Cuántos azulejos tiene el mosaico 15?

   d) ¿Qué mosaico tiene 192 azulejos?

2. 2. (1,25 puntos)

   Dada la sucesión de término general $a_n = 3n - 7$:

   a) Calcula $a_1$, $a_2$, $a_3$ y $a_{15}$.

   b) ¿Son 53 y 70 términos de la sucesión? Si lo son, indica el lugar que ocupan.

   c) Halla el término general de otra sucesión: $11, 14, 17, 20, \dots$

3. 3. (1,25 puntos)

   En una progresión aritmética, $a_1 = \dfrac{2}{3}$ y $a_2 = \dfrac{7}{6}$.

   a) Calcula la diferencia y escribe $a_3$ y $a_4$.

   b) Escribe el término general como una sola fracción y calcula $a_{15}$.

   c) ¿Son $\dfrac{17}{3}$ y $6$ términos de la progresión?

4. 4. (1,5 puntos)

   a) ¿Cuál es el primer múltiplo de 6 mayor que 200? ¿Y el último menor que 400?

   b) ¿Cuántos múltiplos de 6 hay entre 200 y 400?

   c) Calcula la suma de todos ellos.

5. 5. (1,5 puntos)

   El agua de un depósito tiene 4000 partículas de suciedad por mililitro. Se hace pasar por una serie de filtros y cada filtro elimina la mitad de las partículas que le llegan. Llamamos $a_n$ a las partículas por mililitro después del filtro $n$.

   a) Calcula $a_1$, $a_2$ y $a_3$. ¿Qué tipo de progresión forman? ¿Cuál es la razón?

   b) Escribe el término general y calcula $a_6$.

   c) ¿Cuántos filtros hacen falta, como mínimo, para que queden menos de 100 partículas por mililitro?

6. 6. (1,25 puntos)

   Considera la suma infinita $36 + 9 + 2{,}25 + 0{,}5625 + \dots$

   a) Calcula las sumas parciales $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ y $S_5$.

   b) Calcula la suma infinita con la fórmula.

   c) ¿Cuántos términos hay que sumar, como mínimo, para que la suma parcial se diferencie de la suma infinita en menos de 0,1?

7. 7. (2 puntos)

   En el año 2000, un procesador tenía unos 40 millones de transistores. Supongamos que el número de transistores de los procesadores se duplica cada 2 años (dato simplificado). Llamamos $T_n$ a los millones de transistores al cabo de $n$ periodos de 2 años desde el 2000.

   a) ¿Qué tipo de progresión forman? Escribe el término general $T_n$.

   b) ¿Cuántos transistores tendría un procesador en 2010?

   c) ¿En qué año se superarían por primera vez los 10 000 millones de transistores?

   d) ¿Cuántos años hacen falta para que el número de transistores se multiplique por más de 1000?