Examen 3

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   a) Multiplica dos números pares consecutivos y suma 1 al resultado. Hazlo con $2$ y $4$, con $4$ y $6$ y con $6$ y $8$. ¿Qué tipo de números obtienes?

   b) Demuestra con álgebra que siempre ocurre lo mismo. (Dos números pares consecutivos se pueden escribir como $2n$ y $2n + 2$.)

   c) Sin hacer la multiplicación, ¿qué número es $40 \cdot 42 + 1$?

2. 2. (1,25 puntos)

   La gráfica muestra los cinco primeros términos de una sucesión.

   a) Escribe los cinco términos.

   b) Compáralos con los cuadrados $1, 4, 9, 16, 25$ y escribe el término general.

   c) Calcula $a_{12}$. ¿Es 98 un término de la sucesión? ¿Qué lugar ocupa?

3. 3. (1,25 puntos)

   En una progresión aritmética, $a_4 = 19$ y $a_{11} = 47$.

   a) Calcula la diferencia y el primer término.

   b) Escribe el término general y calcula $a_{30}$.

   c) ¿Qué lugar ocupa el término que vale 99?

4. 4. (1,5 puntos)

   Para excavar un pozo, una empresa cobra 15 € por el primer metro y, por cada metro más, 4 € más que por el metro anterior (cuanto más hondo, más cuesta).

   a) ¿Cuánto cobra por el metro número 12?

   b) ¿Cuánto cuesta en total un pozo de 12 m?

   c) Con un presupuesto de 1000 €, ¿cuántos metros se pueden excavar como máximo?

5. 5. (1,5 puntos)

   Se deja caer una pelota de goma desde 3 m de altura. Después de cada bote sube $\dfrac{2}{3}$ de la altura desde la que ha caído.

   a) Escribe la altura que alcanza después del primer, segundo y tercer bote. ¿Qué tipo de progresión forman?

   b) Escribe el término general y calcula la altura después del cuarto bote (en cm, redondeando a las unidades).

   c) ¿Después de qué bote sube por primera vez menos de 30 cm?

6. 6. (1,25 puntos)

   Se dibuja un círculo de 4 cm de radio. Dentro se dibuja otro círculo cuyo radio es la mitad, dentro de este otro con la mitad de radio, y así indefinidamente.

   a) Escribe las áreas de los tres primeros círculos (en función de $\pi$). ¿Qué razón tiene esta progresión?

   b) ¿Cuánto suman las áreas de todos los círculos? Da el resultado exacto y redondeado a las centésimas.

   c) ¿Cuánto suman las longitudes de todas las circunferencias?

7. 7. (2 puntos)

   Cuando nace su nieta, un abuelo deposita 3500 € en una cuenta al 2 % de interés compuesto anual, para que la nieta los saque al cumplir 18 años.

   a) ¿Cuánto dinero hay en la cuenta al cumplir 1, 2 y 3 años? ¿Qué tipo de progresión forman?

   b) ¿Cuánto dinero habrá cuando cumpla 18 años?

   c) ¿Cuántos euros de intereses habrá generado la cuenta?