Examen 2

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   Un programa de dibujo hace «árboles» con segmentos. La figura 1 es un tronco (1 segmento). En la figura 2, del extremo libre del tronco salen 2 ramas (3 segmentos en total). En cada figura nueva, de cada extremo libre salen 2 ramas nuevas: la figura 3 tiene 7 segmentos.

   a) ¿Cuántos segmentos tienen las figuras 4 y 5? ¿Qué regla con dos operaciones permite pasar de una figura a la siguiente?

   b) Comprueba que el número de segmentos de la figura $n$ es $2^n - 1$ y calcula los segmentos de la figura 10.

   c) ¿Qué figura tiene 511 segmentos?

2. 2. (1,25 puntos)

   Una sala de escape cobra a cada persona $p_n = 8 + \dfrac{48}{n}$ euros cuando el grupo es de $n$ personas.

   a) Calcula $p_1$, $p_2$, $p_4$ y $p_6$. ¿Qué ocurre con el precio por persona al aumentar el grupo?

   b) ¿De cuántas personas es un grupo que paga 14 € por persona?

   c) ¿Puede un grupo pagar 13 € por persona? Justifícalo.

3. 3. (1,25 puntos)

   Al subir una montaña, la temperatura baja aproximadamente 0,6 °C cada 100 m de altura. Un día, al pie de la montaña (altura 0) hay 15 °C. Llamamos $t_n$ a la temperatura a $n$ cientos de metros de altura ($t_1$ a 100 m, $t_2$ a 200 m…).

   a) Escribe $t_1$, $t_2$ y $t_3$ y la diferencia de la progresión.

   b) Escribe el término general y calcula la temperatura a 2400 m de altura.

   c) ¿A qué altura se llega a 0 °C?

4. 4. (1,5 puntos)

   Un repartidor de una empresa de mensajería empieza a trabajar en Madrid. El primer día reparte 40 paquetes y cada día reparte 6 paquetes más que el día anterior.

   a) ¿Qué día reparte 100 paquetes?

   b) ¿Cuántos paquetes ha repartido en total desde el primer día hasta ese día, ambos incluidos?

   c) ¿Cuántos paquetes reparte el día 15?

5. 5. (1,5 puntos)

   Dada la progresión geométrica $5, 20, 80, \dots$

   a) Escribe el término general.

   b) ¿Son 5120 y 2000 términos de la progresión? Si lo son, indica qué lugar ocupan.

   c) Calcula la suma de los seis primeros términos.

6. 6. (1,25 puntos)

   Para llenar un depósito de riego de 1000 L se vierten 300 L el primer día, 200 L el segundo, y cada día $\dfrac{2}{3}$ de lo que se vertió el día anterior.

   a) ¿Cuántos litros se vierten el tercer y el cuarto día? Redondea a las unidades.

   b) ¿Cuántos litros hay en el depósito al terminar el cuarto día?

   c) Si se sigue así indefinidamente, ¿se llegará a desbordar el depósito? Justifícalo con la suma infinita.

7. 7. (2 puntos)

   La cuota anual de un club deportivo del barrio es de 200 € y sube un 5 % cada año.

   a) Escribe la cuota de los años 1, 2 y 3. ¿Qué tipo de progresión forman?

   b) ¿Cuánto costará la cuota del año 5? Redondea a los céntimos.

   c) ¿Cuánto habrá pagado en total un socio durante los 5 primeros años? Usa la fórmula de la suma.