Examen 1

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1. 1. (1,25 puntos)

   Para cercar un huerto urbano se monta una valla por tramos. Un tramo tiene 2 postes y 6 tablas horizontales entre ellos. Al añadir un tramo nuevo se aprovecha el último poste del tramo anterior: con 1 tramo se usan 8 piezas; con 2 tramos, 15 piezas; con 3 tramos, 22 piezas.

   a) ¿Cuántas piezas hacen falta para 4 y 5 tramos?

   b) Escribe la fórmula del número de piezas $P$ para $n$ tramos y explica qué cuenta cada parte de la fórmula.

   c) ¿Cuántas piezas hacen falta para 30 tramos?

   d) ¿Cuántos tramos se pueden montar con exactamente 148 piezas?

2. 2. (1,25 puntos)

   El primer día de la temporada, el agua de una piscina tiene 40 g de cloro. Cada día se pierde la mitad del cloro que hay y, al final del día, el encargado añade 10 g. Llamamos $c_n$ a los gramos de cloro al empezar el día $n$, con $c_1 = 40$.

   a) Escribe la ley de recurrencia de la sucesión.

   b) Calcula $c_2$, $c_3$, $c_4$ y $c_5$.

   c) ¿A qué cantidad parece acercarse el cloro de la piscina? Comprueba que si hubiera esa cantidad, se mantendría igual al día siguiente.

3. 3. (1,25 puntos)

   El precio de las entradas de un festival de música de verano en Madrid sube cada semana desde que se ponen a la venta: la primera semana cuestan 24 € y cada semana 1,50 € más que la anterior.

   a) Escribe el precio en las semanas 1, 2 y 3. ¿Forman una progresión aritmética?

   b) Escribe el término general $p_n$ y calcula el precio en la semana 10.

   c) ¿En qué semana cuestan 42 €?

4. 4. (1,5 puntos)

   Dada la progresión aritmética $15, 21, 27, 33, \dots$

   a) Escribe el término general.

   b) Escribe la suma $S_n$ de los $n$ primeros términos en función de $n$.

   c) ¿Cuántos términos hay que sumar para obtener 495?

5. 5. (1,5 puntos)

   Calcula la suma $6 + 24 + 96 + \dots + 6144$.

   a) Comprueba que los sumandos están en progresión geométrica y da la razón.

   b) ¿Cuántos sumandos tiene la suma?

   c) Calcula la suma usando la fórmula.

6. 6. (1,25 puntos)

   En una progresión geométrica, $a_2 = -8$ y $a_3 = 2$.

   a) Calcula la razón y el primer término.

   b) Escribe los cinco primeros términos.

   c) Calcula la suma de los infinitos términos. ¿Por qué se puede calcular?

7. 7. (2 puntos)

   En un tramo de río hay unos 2500 ejemplares de una especie invasora de cangrejo. Si no se hace nada, su población crece un 12 % cada año.

   a) ¿Qué tipo de progresión siguen las poblaciones de cada año? ¿Cuál es la razón?

   b) ¿Cuántos cangrejos habrá dentro de 5 años? Redondea a las unidades.

   c) ¿Dentro de cuántos años se habrá duplicado la población? Resuélvelo por tanteo.