Examen 10

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1. 1. (1,25 puntos)

   Sea $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x - 6$.

   a) Indica su grado, su término independiente y el coeficiente del término de grado 3.

   b) Calcula $P(-1)$ y $P(3)$.

   c) Calcula $P(x) - (x^4 + 2x^2 - 6)$.

2. 2. (1,25 puntos)

   a) Desarrolla: $\;(6 - x)^2\;$ y $\;(x^2 + 7)(x^2 - 7)$.

   b) Expresa como producto: $\;64x^2 - 9\;$ y $\;9x^2 + 24x + 16$.

   c) Comprueba con $x = 2$ el último resultado de b).

3. 3. (1,5 puntos)

   Ana ha simplificado así: $$3 - 2(x + 1)^2 = 3 - (2x + 2)^2 = 3 - 4x^2 - 8x - 4 = -4x^2 - 8x - 1$$

   a) Sustituye $x = 1$ en la expresión inicial y en el resultado de Ana. ¿Qué te indica?

   b) Explica cuál es su error.

   c) Simplifica correctamente la expresión y comprueba tu resultado con $x = 1$.

4. 4. (1,5 puntos)

   Divide $(4x^3 - 7x + 5) : (2x - 1)$ y comprueba el resultado con $D = d \cdot C + R$.

5. 5. (1,5 puntos)

   Sea $P(x) = x^3 + mx^2 - 5x + 6$.

   a) Halla $m$ para que $P(x)$ sea divisible entre $x - 2$.

   b) Con ese valor de $m$, usa la regla de Ruffini para escribir $P(x)$ como producto de $(x - 2)$ por un polinomio de grado 2.

6. 6. (2 puntos)

   En un laboratorio de la Universidad Complutense se prueba una cámara climática. Su temperatura, en °C, a las $t$ horas de empezar la prueba ($0 \le t \le 5$) es $$T(t) = t^3 - 8t^2 + 19t - 12$$

   a) Factoriza $T(t)$.

   b) ¿En qué momentos la temperatura es exactamente 0 °C?

   c) ¿Qué temperatura hay al empezar la prueba? ¿Y a las 2 horas?

7. 7. (1 puntos)

   Averigua si son equivalentes las fracciones de cada pareja:

   a) $\dfrac{x - 2}{x}\;$ y $\;\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x}$

   b) $\dfrac{2}{x + 1}\;$ y $\;\dfrac{2x}{x^2 + 1}$