Examen 9

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   En un puesto del Rastro, una camiseta cuesta $x$ euros y una gorra cuesta 4 € menos que una camiseta.

   a) Escribe el precio de una gorra. Escribe y reduce lo que cuestan 3 camisetas y 2 gorras.

   b) Escribe y reduce cuánto más caras son 5 camisetas que 5 gorras. ¿Depende del precio de la camiseta?

   c) Si una camiseta cuesta 9 €, ¿cuánto cuestan 3 camisetas y 2 gorras?

2. 2. (1,25 puntos)

   a) Desarrolla: $\;\left(\dfrac{x}{2} - 5\right)^2\;$ y $\;\left(\dfrac{x}{3} + 1\right)\left(\dfrac{x}{3} - 1\right)$.

   b) Expresa como producto: $\;\dfrac{x^2}{25} - 4\;$ y $\;\dfrac{x^2}{9} + 2x + 9$.

3. 3. (1,5 puntos)

   En una galería de arte de Malasaña hay dos lienzos: uno rectangular, de $(x + 5)$ dm por $(x - 2)$ dm, y otro cuadrado, de $(x + 1)$ dm de lado.

   a) Escribe y simplifica la diferencia entre el área del rectangular y el área del cuadrado.

   b) Si $x = 15$, ¿cuál tiene más área y cuánto más? Compruébalo con las medidas de los lienzos.

   c) ¿Para qué valor de $x$ tendrían los dos la misma área?

4. 4. (1,5 puntos)

   Comprueba, sin repetir la división, si estos resultados son correctos. Si alguno no lo es, corrígelo.

   a) Nerea divide $2x^3 - x^2 + 4x - 3$ entre $x^2 + 1$ y obtiene de cociente $2x - 1$ y de resto $2x - 2$.

   b) Javier divide $x^3 + 2x^2 - x + 4$ entre $x^2 - 1$ y obtiene de cociente $x + 2$ y de resto $x + 6$.

5. 5. (1,5 puntos)

   La gráfica muestra $y = P(x)$, con $P(x) = x^3 - 3x + 1$.

   a) Lee en la gráfica, sin hacer cuentas, el resto de dividir $P(x)$ entre $x$, entre $x - 1$, entre $x + 1$ y entre $x - 2$.

   b) Comprueba dos de esas lecturas con el teorema del resto.

   c) ¿Es exacta alguna de esas cuatro divisiones? Explica cómo se ve en la gráfica.

6. 6. (2 puntos)

   Factoriza todo lo posible:

   a) $3x^3 - 27x$

   b) $x^3 + 2x^2 - 11x - 12$

7. 7. (1 puntos)

   Simplifica, factorizando primero el numerador y el denominador:

   a) $\dfrac{2x^2 - 6x}{4x}$

   b) $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$