Examen 8

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   Una ciclista prepara una marcha por la sierra de Madrid. El lunes recorre $x$ km; el martes, el doble de lo que recorrió el lunes menos 5 km; y el miércoles, 8 km menos que el lunes.

   a) Escribe los kilómetros que recorre el martes y el miércoles.

   b) Escribe y reduce el total de kilómetros de los tres días.

   c) Escribe y reduce cuántos kilómetros más recorre el martes que el miércoles.

   d) Si el lunes recorre 30 km, ¿cuántos recorre en total?

2. 2. (1,25 puntos)

   a) Desarrolla aplicando las identidades notables: $\;(3x - 4)^2\;$ y $\;(6x + 5)(6x - 5)$.

   b) Expresa como un producto: $\;x^2 - 28x + 196\;$ y $\;49 - x^2$.

3. 3. (1,5 puntos)

   Dados $P(x) = x^2 + 2$, $\;Q(x) = x - 3\;$ y $\;R(x) = 2x + 1$, calcula y simplifica:

   a) $P(x) \cdot Q(x) - \left[R(x)\right]^2$

   b) $\left[Q(x)\right]^2 - 3P(x) + R(x)$

4. 4. (1,5 puntos)

   a) Indica en qué caso el cociente es un polinomio y calcúlalo: $\;(15x^5 - 10x^3 + 5x^2) : 5x^2\;$ y $\;(6x^3 + 2x - 1) : 2x$.

   b) Divide $(x^3 - 4x^2 + 6) : (x - 2)$ con el algoritmo de la división e indica el cociente y el resto.

5. 5. (1,5 puntos)

   Sea $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1$.

   a) Divide $P(x)$ entre $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)$ por la regla de Ruffini. Escribe el cociente y el resto.

   b) Sin dividir, calcula el resto de dividir $P(x)$ entre $x + 1$.

6. 6. (2 puntos)

   La gráfica muestra $y = P(x)$, con $P(x) = x^3 - x^2 - 6x$.

   a) Lee en la gráfica las raíces de $P(x)$.

   b) Comprueba con el valor numérico que lo son.

   c) Factoriza $P(x)$ sacando primero factor común y comprueba que obtienes los factores que corresponden a las raíces leídas.

7. 7. (1 puntos)

   Copia y completa los huecos para que las fracciones sean equivalentes:

   a) $\dfrac{x}{x + 4} = \dfrac{\square}{x^2 + 4x}$

   b) $\dfrac{3}{x} = \dfrac{3x - 12}{\square}$

   c) $\dfrac{5}{x - 2} = \dfrac{\square}{x^2 - 4}$