Examen 3

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   El mural de azulejos de la entrada de un colegio de Usera tiene $(x + 3)$ filas con $(2x - 1)$ azulejos en cada fila.

   a) Escribe el número total de azulejos como un polinomio reducido.

   b) Se decide alargar el mural con 2 filas más iguales. Escribe el nuevo número de azulejos como un polinomio y calcula cuántos azulejos más tiene el mural ampliado.

   c) Si $x = 6$, ¿cuántos azulejos tiene el mural inicial? ¿Cuántos se añaden?

2. 2. (1,25 puntos)

   a) Desarrolla: $\;(x^3 - 3)^2\;$ y $\;(2a + 3b)(2a - 3b)$.

   b) Expresa como producto: $\;25x^2 - 30x + 9\;$ y $\;x^4 - 36$ (como suma por diferencia).

3. 3. (1,5 puntos)

   Un minigolf de Chamberí va a cubrir dos zonas con césped artificial. La zona A es cuadrada, de $(x + 4)$ m de lado; la zona B es rectangular, de $(x + 7)$ m de largo y $(x + 1)$ m de ancho.

   a) Escribe el área de cada zona como un polinomio.

   b) Escribe y simplifica la diferencia entre el área de A y el área de B. ¿Cuál es mayor? ¿Depende del valor de $x$?

   c) Comprueba el resultado con $x = 3$.

4. 4. (1,5 puntos)

   a) Al dividir un polinomio $D(x)$ entre $x^2 - 3$ se obtiene de cociente $2x + 1$ y de resto $x - 4$. Halla $D(x)$.

   b) Al dividir un polinomio entre $x^2 - 3$, ¿podría salir de resto $3x^2 + 1$? ¿Y $5$? Explica por qué.

   c) Si divides un polinomio de grado 6 entre otro de grado 2, ¿qué grado tiene el cociente?

5. 5. (1,5 puntos)

   a) Divide por la regla de Ruffini $(2x^3 - 5x^2 + 3x - 4) : (x - 2)$. Escribe el cociente y el resto.

   b) Sin hacer la división, calcula el resto de $(x^5 - 2x^3 + 7) : (x + 1)$. ¿Qué teorema has usado?

6. 6. (2 puntos)

   a) Factoriza $4x^3 - 4x^2 - 9x + 9$ usando la regla de Ruffini una vez y una identidad notable para el factor de grado 2. ¿Cuáles son sus raíces?

   b) Escribe, desarrollado, un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean $0$, $2$ y $-5$, con coeficiente principal 1.

7. 7. (1 puntos)

   Simplifica factorizando el numerador con una identidad notable:

   a) $\dfrac{x^2 + 10x + 25}{3x + 15}$

   b) $\dfrac{4x^2 - 1}{2x + 1}$