Examen 1

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   Dados los polinomios $P(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 3$ y $Q(x) = -x^3 + x^2 - 5x + 2$:

   a) Calcula $P(x) + Q(x)$.

   b) Calcula $P(x) - Q(x)$.

   c) Calcula el valor numérico $P(-2)$.

2. 2. (1,25 puntos)

   En un parque de Arganzuela han pintado en el suelo un tablero de ajedrez gigante, cuadrado, de $(2x - 3)$ m de lado.

   a) Escribe su área como un polinomio desarrollado.

   b) En otro parque hay un tablero cuadrado cuya área es $(9x^2 + 30x + 25)$ m². ¿Cuánto mide su lado?

   c) Si $x = 4$, calcula el lado y el área de cada tablero y comprueba las áreas con los polinomios.

3. 3. (1,5 puntos)

   Simplifica, trabajando de dentro hacia fuera:

   a) $2x - \left[3 - (x - 1)^2\right]$

   b) $3\left[(x - 2)(x + 2) - x \cdot (x - 1)\right]$

4. 4. (1,5 puntos)

   El tablero rectangular de un escritorio tiene un área de $(6x^3 + 4x^2 - 9x - 6)$ dm² y uno de sus lados mide $(2x^2 - 3)$ dm.

   a) Halla, dividiendo, la expresión del otro lado. ¿Es exacta la división?

   b) Calcula las dos medidas y el área si $x = 2$, y comprueba el área con el polinomio.

5. 5. (1,5 puntos)

   Para dividir $(x^3 + 4x^2 - 2) : (x + 3)$, Pedro ha hecho esta tabla y dice que el cociente es $x + 7$ y el resto, 19: $$\begin{array}{r|rrr} & 1 & 4 & -2 \\ 3 & & 3 & 21 \\ \hline & 1 & 7 & \boxed{19} \end{array}$$

   a) Pedro ha cometido dos errores. ¿Cuáles?

   b) Haz la división correctamente.

   c) Comprueba el resto con el teorema del resto.

6. 6. (2 puntos)

   Sea $P(x) = x^3 + mx^2 - x - 6$.

   a) Halla $m$ para que $x = -2$ sea una raíz de $P(x)$.

   b) Para $m = 3$, factoriza $Q(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$ y escribe sus raíces.

7. 7. (1 puntos)

   Un rectángulo mide $(x + 2)$ cm de base y $2x$ cm de altura, y un cuadrado mide $2x$ cm de lado.

   a) Escribe la fracción algebraica «área del rectángulo entre área del cuadrado» y simplifícala.

   b) Comprueba el resultado con $x = 4$ calculando las dos áreas.