Examen 10

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,5 puntos)

   En un estanque del parque del Retiro, la superficie cubierta por unas algas se duplica cada semana. Hoy las algas cubren $S$ metros cuadrados.

   a) ¿Qué fracción de $S$ cubrían hace 3 semanas? Exprésala como potencia de 2 de exponente negativo y como fracción.

   b) ¿Cuántas veces mayor será la superficie dentro de 2 semanas que hace 3 semanas? Resuélvelo con potencias de 2.

   c) Simplifica descomponiendo las bases en factores primos: $\dfrac{8^{-2} \cdot 12^{3}}{3^{2} \cdot 2^{-1}}$

2. 2. (1,5 puntos)

   Resuelve sin calculadora. Un ácaro del polvo mide unos $3 \cdot 10^{-4}$ m de largo.

   a) Con una lupa que aumenta $2 \cdot 10^{1}$ veces, ¿cuánto mide su imagen? Da el resultado en metros, en notación científica.

   b) En una foto hecha con un microscopio, el ácaro aparece con una longitud de $6 \cdot 10^{-2}$ m. ¿Cuántos aumentos tiene la foto?

   c) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $(3 \cdot 10^{2})^{3}$

3. 3. (1,25 puntos)

   Usa la calculadora y da los resultados en notación científica con 3 cifras significativas.

   La mina de un lápiz es de grafito, que está formado por átomos de carbono. Un átomo de carbono tiene una masa de unos $1{,}99 \cdot 10^{-26}$ kg (dato aproximado).

   a) ¿Cuántos átomos de carbono hay en un trozo de mina de 0,15 g?

   b) Al escribir una página con el lápiz se gastan unos 2 mg de mina. ¿Cuántos átomos de carbono quedan en el papel?

4. 4. (1,25 puntos)

   a) Calcula $\sqrt[3]{9261}$ descomponiendo en factores primos. Halla las raíces sextas reales de $\dfrac{64}{729}$.

   b) ¿Son equivalentes $\sqrt[4]{a^{6}}$ y $\sqrt{a^{3}}$? ¿Y $\sqrt[3]{2^{2}}$ y $\sqrt[9]{2^{5}}$? Justifícalo.

   c) Introduce los factores dentro del radical y ordena de menor a mayor, sin calculadora: $3\sqrt{6}$; $2\sqrt{13}$; $\sqrt{53}$

5. 5. (2 puntos)

   Calcula y simplifica:

   a) $\sqrt[3]{56} + \sqrt[3]{189} - \sqrt[3]{7}$

   b) $(6\sqrt{35}) : (2\sqrt{7})$

   c) $\left(\sqrt{3}\right)^{5}$

   d) $(\sqrt{5} + 3)(2\sqrt{5} - 1)$

6. 6. (1,25 puntos)

   a) Calcula aplicando la definición: $\log_{4} 1024$; $\log_{6} \dfrac{1}{36}$; $\log_{8} 16$

   b) Halla $x$: $\log_{4} x = -2$; $\log_{x} 1000 = 3$

   c) Escribe en forma exponencial: $\log_{9} 729 = 3$. Escribe en forma logarítmica: $2^{-4} = \dfrac{1}{16}$

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Calcula sin calculadora usando las propiedades de los logaritmos: $\log_{7} 98 - \log_{7} 2$; $\log_{2} \sqrt[3]{16}$

   b) Sabiendo que $\log 2 \approx 0{,}3010$ y $\log 3 \approx 0{,}4771$, calcula: $\log 0{,}09$; $\log 400$

   c) Desarrolla aplicando las propiedades: $\log_{3} \dfrac{x^{2}}{27\,y}$