Examen 9

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,5 puntos)

   Una pelota se deja caer desde una altura $h$ y, en cada bote, sube hasta los $\dfrac{2}{3}$ de la altura que alcanzó en el bote anterior. Así, después del bote número $n$ sube hasta $h \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}$.

   a) ¿Cuántas veces es mayor la altura que alcanza tras el 2.º bote que la que alcanza tras el 5.º? Escribe el cociente como una sola potencia de base $\dfrac{2}{3}$ y calcula su valor.

   b) Simplifica descomponiendo las bases en factores primos: $\dfrac{6^{-3} \cdot 4^{2}}{9^{-1} \cdot 2^{3}}$

2. 2. (1,5 puntos)

   Resuelve sin calculadora.

   a) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $(9 \cdot 10^{-4}) \cdot (4 \cdot 10^{-5})$; $(3 \cdot 10^{6}) : (6 \cdot 10^{-2})$

   b) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $7{,}3 \cdot 10^{8} + 2{,}7 \cdot 10^{8}$

   c) Escribe en forma decimal: $6{,}08 \cdot 10^{-4}$; $5{,}5 \cdot 10^{7}$

3. 3. (1,25 puntos)

   Usa la calculadora y da los resultados en notación científica con 3 cifras significativas.

   Una hormiga tiene una masa de unos $4 \cdot 10^{-6}$ kg y un elefante africano, de unos $6 \cdot 10^{3}$ kg.

   a) ¿Cuántas veces es mayor la masa del elefante que la de la hormiga? ¿En cuántos órdenes de magnitud se diferencian?

   b) Se estima que en la Tierra hay unas $2 \cdot 10^{16}$ hormigas. ¿Cuál es su masa total? ¿A cuántos elefantes equivale?

4. 4. (1,25 puntos)

   a) Halla el número $x$ en cada caso: $\sqrt[3]{x} = -0{,}4$; $\sqrt[5]{x} = \dfrac{1}{2}$

   b) Simplifica (las letras son positivas): $\sqrt[9]{8}$; $\sqrt[6]{a^{3}\,b^{9}}$

   c) Reduce a índice común y ordena de menor a mayor, sin calculadora: $\sqrt[3]{7}$; $\sqrt[6]{50}$; $\sqrt{2}$

5. 5. (2 puntos)

   Calcula y simplifica:

   a) $\dfrac{1}{2}\sqrt{48} + \sqrt{75} - 2\sqrt{27}$

   b) $\sqrt{15} \cdot \sqrt{35}$

   c) $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{2}$

   d) $\sqrt{5}\,(\sqrt{20} + \sqrt{10})$

6. 6. (1,25 puntos)

   a) Una clave de $n$ bits (ceros y unos) permite $2^{n}$ combinaciones distintas, y un candado de $m$ ruedas con las cifras del 0 al 9 permite $10^{m}$ combinaciones. ¿Cuántos bits hacen falta para tener 65 536 combinaciones? ¿Cuántas ruedas necesita un candado para tener un millón de combinaciones? Escribe cada respuesta con un logaritmo.

   b) Calcula: $\log_{7} \dfrac{1}{7}$; $\log_{100} 1000$; $\log_{\frac{1}{5}} 25$

   c) Halla $x$: $\log_{x} 81 = -4$; $\log_{2} x = 0$

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Usa $\log 2 \approx 0{,}30103$ y $\log 3 \approx 0{,}47712$ para averiguar cuántas cifras tienen $3^{40}$ y $12^{10}$.

   b) Calcula sin calculadora usando las propiedades de los logaritmos: $\log 8 + \log 125$; $\log_{5} 75 - \log_{5} 3$

   c) Escribe como un solo logaritmo: $\dfrac{1}{3}\log a + 2\log b$