Examen 8

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,5 puntos)

   En un juego para el móvil, la puntuación se multiplica por 3 cada vez que superas un nivel y se divide entre 3 cada vez que pierdes una vida. Lucía empieza con $9 = 3^{2}$ puntos.

   a) Si supera 6 niveles y pierde 4 vidas, ¿qué puntuación tiene? Escríbela como una sola potencia de 3 y calcúlala.

   b) Si en cambio supera 2 niveles y pierde 5 vidas, ¿qué puntuación tiene? Escríbela como potencia de 3 y como fracción.

   c) Simplifica descomponiendo las bases en factores primos: $\dfrac{18^{2} \cdot 6^{-3}}{\left(\dfrac{4}{9}\right)^{-1}}$

2. 2. (1,5 puntos)

   Resuelve sin calculadora. Un grano de arroz tiene una masa de unos $2{,}5 \cdot 10^{-2}$ g.

   a) ¿Cuántos granos de arroz hay, aproximadamente, en un saco de 5 kg? Escribe la masa del saco en gramos y en notación científica antes de operar.

   b) Una arrocera industrial cuece $4 \cdot 10^{7}$ granos al día. ¿Qué masa de arroz es? Da el resultado en gramos y en kilogramos.

   c) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $1{,}2 \cdot 10^{8} - 3 \cdot 10^{7}$

3. 3. (1,25 puntos)

   Usa la calculadora y da los resultados en notación científica con 3 cifras significativas.

   La superficie de la Tierra es de unos $5{,}1 \cdot 10^{8}$ km² y el 71 % está cubierto por océanos, que tienen una profundidad media de unos 3,7 km.

   a) Calcula la superficie de los océanos en km² y en m² (1 km² $= 10^{6}$ m²).

   b) Calcula, aproximadamente, el volumen de agua de los océanos en km³ y en litros (1 km³ $= 10^{12}$ L).

4. 4. (1,25 puntos)

   a) ¿Verdadero o falso? Justifícalo.

   i) $\sqrt[4]{-625} = -5$ ii) $\sqrt[3]{-1} = -1$ iii) $\sqrt[6]{5^{3}} = \sqrt{5}$ iv) $\sqrt[5]{3} = \sqrt[10]{6}$

   b) Escribe dos radicales equivalentes a $\sqrt[3]{7^{2}}$.

   c) Reduce a índice común y ordena de menor a mayor, sin calculadora: $\sqrt[3]{6}$; $\sqrt[4]{10}$; $\sqrt{3}$

5. 5. (2 puntos)

   Calcula y simplifica:

   a) $\sqrt{45} - \sqrt{125} + 2\sqrt{20}$

   b) $\sqrt{6} \cdot \sqrt{10}$

   c) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{2}$

   d) $\sqrt{3}\,(\sqrt{15} - \sqrt{3})$

6. 6. (1,25 puntos)

   a) En un torneo de tenis por eliminatorias, en cada ronda queda eliminada la mitad de los jugadores, hasta que solo queda el campeón. Si se apuntan $2^{n}$ jugadores, hacen falta $n$ rondas. ¿Cuántas rondas hacen falta con 512 jugadores? Escríbelo con un logaritmo.

   b) Calcula: $\log_{5} 0{,}04$; $\log_{27} 3$

   c) Halla $x$: $\log_{x} 81 = 4$; $\log x = 2$

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Calcula sin calculadora usando las propiedades de los logaritmos: $\log_{5} 50 - \log_{5} 2$; $\log_{3} \sqrt[4]{27}$

   b) Sabiendo que $\log 2 \approx 0{,}3010$ y $\log 3 \approx 0{,}4771$, calcula: $\log 4{,}5$; $\log 120$; $\log \sqrt[3]{12}$

   c) Desarrolla aplicando las propiedades: $\log_{2} (8\,x^{3}\,y)$