Examen 7

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,5 puntos)

   a) Calcula: $(-4)^{-2}$; $\left(\dfrac{2}{7}\right)^{-2}$; $-5^{-3}$

   b) Reduce a una sola potencia y calcula su valor: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-5} \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}$

   c) Simplifica descomponiendo las bases en factores primos: $\dfrac{14^{2} \cdot 2^{-3}}{7^{3} \cdot 4^{-1}}$

2. 2. (1,5 puntos)

   Resuelve sin calculadora.

   a) Escribe en notación científica: 0,000 000 45; 61 200 000 000

   b) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $\dfrac{8 \cdot 10^{5}}{(2 \cdot 10^{-3}) \cdot (5 \cdot 10^{4})}$

   c) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $(2 \cdot 10^{-5} + 3 \cdot 10^{-6}) \cdot 2 \cdot 10^{8}$

3. 3. (1,25 puntos)

   Usa la calculadora y da los resultados en notación científica con 3 cifras significativas.

   En su interior, el Sol transforma materia en energía y pierde unos $4{,}3 \cdot 10^{9}$ kg de masa cada segundo.

   a) ¿Cuánta masa pierde en un año? (1 año $= 365$ días; 1 día $= 86\,400$ s)

   b) La masa del Sol es de unos $1{,}99 \cdot 10^{30}$ kg. Si perdiera masa siempre a ese ritmo, ¿cuántos años tardaría en perderla toda?

4. 4. (1,25 puntos)

   a) La población de un pueblo de la sierra de Madrid se ha multiplicado por 1,4641 en 4 años, y cada año ha crecido en la misma proporción. ¿Por qué número se multiplicó la población cada año? ¿Qué porcentaje creció cada año?

   b) Calcula: $\sqrt[3]{-\dfrac{125}{8}}$

   c) Simplifica: $\sqrt[15]{2^{5} \cdot 7^{10}}$

5. 5. (2 puntos)

   Calcula y simplifica:

   a) $2\sqrt{50} - 3\sqrt{32} + \sqrt{98}$

   b) $\dfrac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{2}}$

   c) $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}$

   d) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^{2}$

6. 6. (1,25 puntos)

   a) Calcula: $\log_{13} 169$; $\log_{2} 0{,}125$; $\log_{81} 3$

   b) Halla $x$: $\log x = -4$; $\log_{x} 32 = 5$

   c) Completa para que las igualdades sean ciertas y justifícalo: $\log_{5} \square = -1$; $\log_{\square} 7 = 1$

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Calcula sin calculadora usando las propiedades de los logaritmos: $\log_{2} \left(32 \cdot \sqrt{2}\right)$; $\log_{3} \dfrac{81}{\sqrt{3}}$

   b) Sabiendo que $\log 2 \approx 0{,}3010$ y $\log 3 \approx 0{,}4771$, calcula: $\log 1{,}2$; $\log 0{,}75$

   c) Desarrolla aplicando las propiedades: $\log \dfrac{100\,x}{\sqrt[3]{y}}$