Examen 6

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,5 puntos)

   a) ¿Verdadero o falso? Corrige los falsos.

   i) $2^{-3} \cdot 2^{-2} = 2^{6}$ ii) $(-6)^{-2} = -\dfrac{1}{36}$ iii) $\left(\dfrac{5}{3}\right)^{-1} = \dfrac{3}{5}$ iv) $4^{-1} + 4^{-1} = 4^{-2}$

   b) Simplifica y deja el resultado con exponentes positivos (las letras son distintas de 0): $\dfrac{(a^{2}\,b^{-1})^{-3} \cdot a^{4}}{(a\,b^{2})^{-2}}$

2. 2. (1,5 puntos)

   Resuelve sin calculadora. Una impresora 3D del laboratorio del instituto fabrica las piezas depositando capas de plástico de $2 \cdot 10^{-4}$ m de grosor.

   a) ¿Cuántas capas necesita para imprimir una pieza de $3{,}6 \cdot 10^{-2}$ m de altura?

   b) Si cada capa tarda $1{,}5 \cdot 10^{1}$ s, ¿cuánto tarda en imprimir la pieza? Da el resultado en segundos, en notación científica, y en minutos.

   c) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $6 \cdot 10^{-7} + 4{,}5 \cdot 10^{-6}$

3. 3. (1,25 puntos)

   Usa la calculadora y da los resultados en notación científica con 3 cifras significativas.

   Un buscador de internet recibe unas $9{,}9 \cdot 10^{4}$ búsquedas cada segundo, y cada búsqueda consume unos $3 \cdot 10^{-4}$ kWh de energía (datos aproximados).

   a) ¿Cuántas búsquedas recibe en un año? (1 año $= 365$ días; 1 día $= 86\,400$ s)

   b) ¿Cuánta energía consumen esas búsquedas en un año? Si un hogar consume unos $3{,}3 \cdot 10^{3}$ kWh al año, ¿a cuántos hogares equivale?

4. 4. (1,25 puntos)

   a) Calcula las raíces reales de cada radical (si existen): $\sqrt[5]{-32}$; $\sqrt[4]{0{,}0625}$; $\sqrt{-36}$

   b) Resuelve (da todas las soluciones reales): $x^{3} = \dfrac{8}{27}$; $x^{6} = 729$

   c) Introduce los factores dentro del radical y ordena de menor a mayor, sin calculadora: $2\sqrt{7}$; $3\sqrt{3}$; $\sqrt{26}$

5. 5. (2 puntos)

   Calcula y simplifica:

   a) $\sqrt{176} - \sqrt{99} + \sqrt{44}$

   b) $(12\sqrt{10}) : (4\sqrt{2})$

   c) $\left(2\sqrt[3]{2}\right)^{2}$

   d) $\sqrt{2\sqrt{8}}$ (exprésalo como un solo radical y extrae factores)

6. 6. (1,25 puntos)

   a) Cada persona tiene 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos… Si nos remontamos $n$ generaciones, hay $2^{n}$ antepasados en esa generación. ¿Cuántas generaciones hay que remontarse para tener 2048 antepasados en una misma generación? Escríbelo con un logaritmo.

   b) Calcula: $\log_{3} \sqrt{27}$; $\log_{4} \dfrac{1}{8}$

   c) Halla $x$: $\log_{x} 0{,}25 = -2$; $\log_{25} x = \dfrac{3}{2}$

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Calcula sin calculadora usando las propiedades de los logaritmos: $\log_{2} 12 - \log_{2} 3$; $\log 40 + \log 25$

   b) Sabiendo que $\log 2 \approx 0{,}3010$ y $\log 3 \approx 0{,}4771$, calcula: $\log 36$; $\log 0{,}6$; $\log \sqrt[4]{8}$

   c) Desarrolla aplicando las propiedades: $\log \dfrac{a^{2}\,\sqrt{b}}{c^{3}}$