Examen 5

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,5 puntos)

   a) Calcula: $3^{-1} + 3^{-2}$; $(-1)^{-7}$

   b) Reduce a una sola potencia y calcula su valor: $\left[\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2}\right]^{-1} \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{5}$

   c) Simplifica descomponiendo las bases en factores primos: $\dfrac{15^{-1} \cdot 9^{2}}{25^{-1} \cdot 27}$

2. 2. (1,5 puntos)

   Resuelve sin calculadora.

   a) Ordena de menor a mayor: $7{,}1 \cdot 10^{-4}$; $2 \cdot 10^{-3}$; $9{,}9 \cdot 10^{-5}$; $1{,}05 \cdot 10^{-3}$

   b) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $(6{,}4 \cdot 10^{7}) : (1{,}6 \cdot 10^{-3})$; $(2{,}5 \cdot 10^{-6}) \cdot (4 \cdot 10^{-3})$

   c) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $4 \cdot 10^{9} - 5 \cdot 10^{8}$

3. 3. (1,25 puntos)

   Usa la calculadora y da los resultados con 3 cifras significativas.

   Las uñas de las manos crecen unos 3,5 mm al mes.

   a) Expresa esa velocidad de crecimiento en m/s, en notación científica (toma 1 mes $= 30$ días y 1 día $= 86\,400$ s). Escribe la operación tal como la teclearías, con los paréntesis necesarios.

   b) Si una uña no se cortara nunca, ¿cuántos meses tardaría en medir 1 m? ¿Cuántos años son?

4. 4. (1,25 puntos)

   a) Indica el índice y el radicando de $\sqrt[7]{-128}$. ¿Cuántas raíces reales tiene? Calcúlalas.

   b) Simplifica (las letras son positivas): $\sqrt[10]{3^{4}}$; $\sqrt[12]{x^{8}\,y^{4}}$

   c) Reduce a índice común y ordena de menor a mayor, sin calculadora: $\sqrt[4]{3}$; $\sqrt[3]{2}$; $\sqrt[6]{5}$

5. 5. (2 puntos)

   Calcula y simplifica:

   a) $\sqrt[3]{3000} - \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{3}$

   b) $\sqrt{30} \cdot \sqrt{6}$

   c) $\left(\sqrt{2}\right)^{7}$

   d) $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ (exprésalo como un solo radical)

6. 6. (1,25 puntos)

   a) Calcula: $\log_{3} \dfrac{1}{27}$; $\log_{49} 7$; $\log \sqrt[3]{10}$

   b) ¿Existen estos logaritmos? Si existen, calcúlalos: $\log_{5} 0$; $\log_{5} (-25)$; $\log_{5} 0{,}2$

   c) Halla $x$: $\log_{x} \dfrac{1}{9} = -2$; $\log_{2} x = \dfrac{1}{2}$

7. 7. (1,25 puntos)

   a) ¿Verdadero o falso? Corrige los falsos.

   i) $\log 8 + \log 2 = \log 10$ ii) $\log_{3} (9 \cdot 27) = 5$ iii) $\log 50 - \log 5 = \log 45$ iv) $\log 7^{2} = 2\log 7$

   b) Sabiendo que $\log 2 \approx 0{,}3010$ y $\log 3 \approx 0{,}4771$, calcula: $\log 72$; $\log 0{,}05$

   c) Escribe como un solo logaritmo: $\log a - 2\log b + \log 4$