Examen 4

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,5 puntos)

   a) Ordena de menor a mayor: $4^{-2}$; $(-4)^{-1}$; $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$; $2^{-3}$; $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{0}$

   b) Simplifica y deja el resultado con exponentes positivos (las letras son distintas de 0): $\dfrac{(x^{3}\,y^{-2})^{2}}{(x^{-1}\,y)^{-4} \cdot x^{2}\,y^{-3}}$

2. 2. (1,5 puntos)

   Resuelve sin calculadora. El río Amazonas vierte al océano, aproximadamente, $2 \cdot 10^{5}$ m³ de agua cada segundo.

   a) ¿Cuántos metros cúbicos vierte en una hora? (1 h $= 3{,}6 \cdot 10^{3}$ s)

   b) Un embalse tiene una capacidad de $4{,}2 \cdot 10^{8}$ m³. ¿Cuántos segundos tardaría el Amazonas en llenarlo? Expresa el resultado en notación científica y en forma decimal.

   c) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $3{,}7 \cdot 10^{-2} + 8 \cdot 10^{-3}$

3. 3. (1,25 puntos)

   Usa la calculadora y da los resultados en notación científica con 3 cifras significativas.

   La distancia media de la Tierra a la Luna es de unos $3{,}84 \cdot 10^{5}$ km.

   a) ¿Cuántas horas tardaría en recorrer esa distancia un coche a 120 km/h sin parar? ¿Cuántos días son?

   b) Una persona camina unos $1{,}3 \cdot 10^{4}$ pasos al día y cada paso mide unos 0,7 m. ¿Cuántos días tardaría en recorrer esa distancia andando? ¿Cuántos años son, aproximadamente?

4. 4. (1,25 puntos)

   a) Escribe como potencia de exponente fraccionario: $\sqrt[4]{5^{3}}$; $\sqrt[3]{2}$. Escribe como radical: $7^{\frac{2}{5}}$

   b) ¿Son equivalentes $\sqrt[3]{9}$ y $\sqrt[6]{81}$? ¿Y $\sqrt{2}$ y $\sqrt[6]{4}$? Justifícalo.

   c) Reduce a índice común y ordena de menor a mayor, sin calculadora: $\sqrt[3]{5}$; $\sqrt{3}$; $\sqrt[4]{8}$

5. 5. (2 puntos)

   Calcula y simplifica:

   a) $5\sqrt{28} - 2\sqrt{63} + \sqrt{7}$

   b) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{24}$

   c) $\sqrt[3]{25} : \sqrt{5}$

   d) $(2\sqrt{5} - 1)^{2}$

6. 6. (1,25 puntos)

   a) En el juego de «adivina el número», cada pregunta de sí o no bien elegida descarta la mitad de los números posibles. Con $n$ preguntas se puede adivinar un número entre $2^{n}$ posibles. ¿Cuántas preguntas hacen falta para adivinar un número del 1 al 8192? Escríbelo con un logaritmo.

   b) Calcula: $\log_{5} \sqrt{5}$; $\log_{9} \dfrac{1}{81}$; $\log_{16} 8$

   c) Halla $x$: $\log_{x} 216 = \dfrac{3}{2}$; $\log_{\frac{1}{2}} x = 3$

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Calcula sin calculadora usando las propiedades de los logaritmos: $\log_{3} 15 - \log_{3} 5$; $\log_{6} 3 + \log_{6} 12$

   b) Sabiendo que $\log 2 \approx 0{,}3010$ y $\log 3 \approx 0{,}4771$, calcula: $\log 27$; $\log 20$; $\log \dfrac{2}{3}$

   c) Escribe como un solo logaritmo: $3\log x + \dfrac{1}{2}\log y - \log z$