Examen 3

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,5 puntos)

   a) Reduce a una sola potencia: $5^{-2} \cdot 5^{6} : 5^{-3}$; $(3^{-2})^{-2} \cdot 3^{-5}$

   b) Calcula usando el producto de potencias de igual exponente: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{8}{9}\right)^{-2}$

   c) Simplifica escribiendo el decimal como potencia de 2: $\dfrac{(0{,}25)^{3} \cdot 64}{8^{-1} \cdot 2^{2}}$

2. 2. (1,5 puntos)

   Resuelve sin calculadora.

   a) Escribe en forma decimal: $4{,}05 \cdot 10^{6}$; $1{,}3 \cdot 10^{-5}$

   b) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $(7 \cdot 10^{-4}) \cdot (3 \cdot 10^{-6})$; $(1{,}8 \cdot 10^{-3}) : (6 \cdot 10^{4})$

   c) Calcula y expresa el resultado en notación científica: $9{,}1 \cdot 10^{-5} - 6 \cdot 10^{-6}$

3. 3. (1,25 puntos)

   Usa la calculadora y da los resultados en notación científica con 3 cifras significativas.

   Un grano de arena de playa tiene un volumen de unos $6{,}5 \cdot 10^{-2}$ mm³ y una masa de unos $1{,}7 \cdot 10^{-4}$ g.

   a) ¿Cuántos granos de arena hay, aproximadamente, en un cubo de playa de 4,5 L lleno de arena? (1 L $= 10^{6}$ mm³; supón que la arena no deja huecos).

   b) ¿Qué masa tiene la arena del cubo? Da el resultado en gramos y en kilogramos.

4. 4. (1,25 puntos)

   a) Calcula descomponiendo en factores primos: $\sqrt[3]{10\,648}$; $\sqrt[4]{\dfrac{81}{625}}$

   b) Indica cuántas raíces reales tiene cada radical y calcúlalas: $\sqrt[3]{-343}$; $\sqrt[6]{-729}$

   c) Simplifica: $\sqrt[6]{27}$; $\sqrt[12]{a^{9}}$

5. 5. (2 puntos)

   Calcula y simplifica:

   a) $4\sqrt{12} - \sqrt{108} + 2\sqrt{75}$

   b) $\sqrt[3]{20} \cdot \sqrt[3]{50}$

   c) $\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{3}$

   d) $(\sqrt{20} - \sqrt{45}) : \sqrt{5}$

6. 6. (1,25 puntos)

   a) Pasa a forma exponencial y halla $x$: $\log_{6} x = -3$; $\log_{x} \dfrac{1}{343} = -3$; $\log_{x} 8 = \dfrac{3}{2}$

   b) Calcula: $\log_{\frac{1}{3}} 27$; $\log_{2} \sqrt[3]{4}$

   c) Escribe en forma logarítmica: $32^{\frac{2}{5}} = 4$

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Usa $\log 2 \approx 0{,}30103$ para averiguar cuántas cifras tienen $2^{50}$ y $8^{25}$.

   b) Calcula sin calculadora usando las propiedades de los logaritmos: $\log_{2} 48 - \log_{2} 3$; $\log 0{,}5 + \log 200$

   c) Desarrolla aplicando las propiedades: $\log \sqrt{\dfrac{x^{3}}{10\,y}}$