Examen 10

Hazlo en papel, sin mirar los apuntes, en unos 50 minutos. Cuando termines, pulsa «He terminado» para ver las soluciones y ponerte la nota.

1. 1. (1,25 puntos)

   a) ¿Puede un prisma tener 26 aristas? ¿Y una pirámide? Si es posible, di cuántos lados tiene su base.

   b) Un poliedro regular tiene caras triangulares y en cada vértice concurren 5. ¿Cuál es? ¿Cuánto suman los ángulos en cada vértice?

   c) Un cubo es un poliedro regular y un ortoedro de $2 \times 3 \times 4$ cm no lo es, aunque los dos tienen 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. Explica por qué.

2. 2. (1,25 puntos)

   El dodecaedro truncado se obtiene cortando cada vértice de un dodecaedro regular (12 caras, 20 vértices, 30 aristas). Tiene 12 caras decagonales y 20 caras triangulares, y en cada vértice concurren 3 caras.

   a) Calcula su número de aristas y de vértices a partir de las caras.

   b) Comprueba la fórmula de Euler.

   c) Comprueba los resultados con las fórmulas del truncamiento: $C' = C + V$, $V' = k \cdot V$, $A' = A + k \cdot V$.

3. 3. (1,25 puntos)

   a) Un cuerpo tiene un eje de giro cuyo menor ángulo de giro es $40^\circ$. ¿De qué orden es el eje?

   b) Un prisma regular tiene un eje de giro de orden 12. ¿Qué polígono es su base? ¿Cuántos planos de simetría tiene? ¿Cuántos ejes de orden 2?

   c) ¿Puede un eje de giro tener como menor ángulo $50^\circ$? Justifícalo.

4. 4. (1,75 puntos)

   Un cine vende las palomitas en cubos de cartón con forma de tronco de cono, abiertos por arriba. La boca mide 22 cm de diámetro, el fondo 12 cm y la altura es de 12 cm.

   a) Calcula la generatriz del tronco.

   b) ¿Cuánto cartón lleva cada cubo? Da el resultado exacto y redondeado a centésimas.

   c) ¿Cuántos metros cuadrados de cartón hacen falta para 500 cubos? Redondea a centésimas.

5. 5. (1,75 puntos)

   En el aula de Historia hay una maqueta de una pirámide mesoamericana: es una pirámide cuadrangular regular de 12 dm de lado de la base y 15 dm de altura a la que le falta la punta, porque se cortó por un plano paralelo a la base a 10 dm de altura (arriba queda una plataforma plana).

   a) ¿Cuánto mide el lado de la plataforma de arriba?

   b) Calcula el volumen de la maqueta (el tronco). Da el resultado exacto y aproximado a centésimas.

   c) Si estuviera hueca, ¿cuántos litros de arena harían falta para llenarla?

6. 6. (1,5 puntos)

   Un reloj de arena está formado por dos conos iguales de 4 cm de radio y 9 cm de altura unidos por sus vértices. Está dentro de un cilindro de cristal de 4 cm de radio y 18 cm de altura, de forma que las bases de los conos coinciden con las del cilindro.

   a) Calcula el volumen de los dos conos juntos.

   b) ¿Qué volumen queda entre los conos y el cilindro? Da el resultado exacto y redondeado a centésimas.

   c) ¿Qué fracción del cilindro ocupan los conos? ¿Por qué tiene sentido?

7. 7. (1,25 puntos)

   a) Un cuenco semiesférico mide 15 cm de radio interior y tiene agua hasta 9 cm de profundidad. ¿Qué radio tiene la superficie del agua? ¿Qué área tiene? Redondea a centésimas.

   b) Santiago de Chile está aproximadamente en $33^\circ\,27'$ S, $70^\circ\,40'$ O. Halla las coordenadas de su punto antípoda. ¿En qué hemisferios está ese punto?